Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{}
und
\mathl{b \in \R}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {f(n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} genau dann gegen $b$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow + \infty } \, f(x) =b} { }
gilt, wenn also die Funktion für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{} den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{[a,+ \infty [}{} ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und
\maabb {f,g} {[a, +\infty [} { \R
} {}
seien
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} {}
existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.
\aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in [a, + \infty [}{} und
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) \neq 0}{.} Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert für $x \rightarrow +\infty$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, \frac{f(x)}{ g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein Intervall,
\mathl{r}{} ein
\definitionsverweis {(uneigentlicher) Randpunkt}{}{}
von $I$ und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Existenz des
\definitionsverweis {uneigentlichen Integrals}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t} { }
nicht vom gewählten Startpunkt
\mathl{a \in I}{} abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I={]r,s[}$ ein
\definitionsverweis {beschränktes offenes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,}
die sich auf
\mathl{[r,s]}{}
\definitionsverweis {stetig fortsetzen}{}{}
lässt. Zeige, dass dann das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
existiert und mit dem
\definitionsverweis {bestimmten Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise Rechenregeln für \definitionsverweis {uneigentliche Integrale}{}{} \zusatzklammer {analog zu Lemma 23.15} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t(t-1) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \setminus \{0,1 \}
}
{ =} { [- \infty, 0[ \, \cup \, ]0,1[ \, \cup \, ]1, + \infty]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist. Entscheide für jedes Teilintervall und jeden
\zusatzklammer {uneigentlichen} {} {}
Randpunkt, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
existiert oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^2-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{- \infty}^{\infty} { \frac{ 1 }{ 1+t^2 } } dt
}
{ =} { \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-t^2} } } \, d t} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (x+1) \sqrt{x} } } \, d x} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Sei
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {monoton fallende}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t} { }
existiert. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, f(t) =0} { }
ist.
b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [
} {}
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]}
} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } \betrag { { \frac{ \sin x }{ x } } } \, d x} { }
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (\sqrt{1+t^2})^3 } } \, d t} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^3-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Entscheide, ob das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ \sin x }{ x } } \, d x} { }
existiert.
}
{} {(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{,} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {} derart, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{} $\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t$ existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {]a,b[} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {fallende Folge}{}{}
in $I$ mit dem
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $a$ und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {wachsende Folge}{}{}
in $I$ mit dem
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass die Folge
\mathdisp {w_n = \int_{ x_n }^{ y_n } f ( t) \, d t} { }
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.
}
{} {}