Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine wachsende Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Folge ${}f(n)$, ${}n\in \mathbb {N}$, genau dann gegen ${}b$ konvergiert, wenn

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b$

gilt, wenn also die Funktion für ${}x\rightarrow +\infty$ den Grenzwert ${}b$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}[a,+\infty [$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und ${}f,g\colon [a,+\infty [\rightarrow \mathbb {R}$ seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)$ existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in [a,+\infty [$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)}}.$

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

nicht vom gewählten Startpunkt ${}a\in I$ abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}I={]r,s[}$ ein beschränktes offenes Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die sich auf ${}[r,s]$ stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert und mit dem bestimmten Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

übereinstimmt.

Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.15).

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

${}f(t)={\frac {1}{t(t-1)}}\,,$

die auf

${}\mathbb {R} \setminus \{0,1\}=[-\infty ,0[\,\cup \,]0,1[\,\cup \,]1,+\infty ]\,$

definiert ist. Entscheide für jedes Teilintervall und jeden (uneigentlichen) Randpunkt, ob das uneigentliche Integral existiert oder nicht.

Aufgabe *

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe

Bestimme das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt.$

Aufgabe *

Zeige

${}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\pi \,.$

Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}\,dx$

existiert und berechne es im Falle der Existenz.

Aufgabe *

a) Sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine monoton fallende stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$

existiert. Zeige, dass

$\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,f(t)=0$

ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Aufgabe

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }\vert {\frac {\sin x}{x}}\vert \,dx$

existiert.

Aufgabe

Berechne das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{({\sqrt {1+t^{2}}})^{3}}}\,dt.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{3}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx$

existiert.

Aufgabe (8 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx$

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt$ existiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein beschränktes Intervall und es sei

$f\colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}a$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in ${}I$ mit dem Grenzwert ${}b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass die Folge

$w_{n}=\int _{x_{n}}^{y_{n}}f(t)\,dt$

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.