Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Der Körper der reellen Zahlen

§ Der Körper der Reellen Zahlen

• Siehe auch: Körper (Algebra)

Auf $\mathbb {R}$ sind Addition + und Multiplikation $\cdot$ erklärt mit folgenden Eigenschaften:

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition/Variante 3

Statt

$\!\,x+(-y)$ schreibe $\!\,x-y$

$x\cdot y^{-1}$ schreibe ${\frac {x}{y}}$ oder $\!\,x/y$

$x\cdot y$ schreibe $\!\,xy$

Anordnungsaxiome

Es gibt eine Menge $P\subseteq \mathbb {R}$ mit: für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt:

entweder $x\in P$

oder $-x\in P$

oder $\!\,x=o$

und

(i)

$x,y\in P\Rightarrow x+y\in P$

(ii)

$x,y\in P\Rightarrow xy\in P$

$\!\,x>0$ (größer) für $x\in P$

$\!\,x<0$ (kleiner) für $-x\in P$

Exemplarischer Beweis: Warum ist 1 > 0?

Fallunterscheidung: Fall 1: $1\in P$ Korrekt Fall 2: $(-1)\in P\Rightarrow 1\in (-1)\cdot (-1)\in P$ Widerspruch

$x<y\Leftrightarrow y-x>0$

Regeln

Für das folgende gilt: $t,x,y,z\in \mathbb {R}$

• (a) $\!\,x<y$ und $y<z\Rightarrow x<z$
• (b) $x<y\Rightarrow x+z<y+z$
• (c) $x<y\vee z<0\Rightarrow xz<yz$
• (d) $x\not =0\Rightarrow x^{2}>0$
• (e) $\!\,x<y$ und $0<t<1\Rightarrow x<tx+(1-t)y<y$ insbesondere $\left(t={\frac {1}{2}}\right),x<{\frac {x+y}{2}}<y$
• (f) $0<x<y\Rightarrow {\frac {1}{y}}<{\frac {1}{x}}$

Beweise

• (a) $z-x=\underbrace {(z-y)} _{>0}+\underbrace {(y-x)} _{>0}>0$
• (b) $\!\,(z+y)-(z+x)=y-x>0$
• (c) $yz-xz=\underbrace {(y-x)} _{>0}z>0$

$xz-yz=(x-y)z=\underbrace {(y-x)} _{>0}(-z)>0$

• (d) wie bei $\!\,x=1$
• (e) $y-(tx+(1-t)y)=ty-tx=\underbrace {t} _{>0}\underbrace {(y-x)} _{>0}>0$
• (f) ${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}=\underbrace {(y-x)} _{>0}\underbrace {\frac {1}{xy}} _{>0}$

zz: $t>0\Rightarrow {\frac {1}{t}}>0$

Annahme:${\frac {1}{t}}<0\Rightarrow {\frac {-1}{t}}>0$

$\Rightarrow {\frac {-1}{t}}t=-1<0$ Widerspruch!

Absolutbetrag

$x\in \mathbb {R}$

• $|x|={\begin{cases}x,x>0\\0,x=0\\-x,x<0\end{cases}}$

heißt Betragsfunktion.

• $sign(x)={\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}}$

$x\cdot sign(x)=|x|$

$|x|\cdot sign(x)=x$

Eigenschaften

• (a) $\!\,|xy|=|x||y|$
• (b) $|x|>0\ (x\not =0),\ |0|=0$
• (c) $x\leq |x|,\quad -x\leq |x|$
• (d) $|x|<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon <x<\epsilon$

Dreiecksungleichung

Für $x,y\in \mathbb {R}$ gilt: $|x+y|\leq |x|+|y|$ und $||x|-|y||\leq |x-y|$

und "=" genau dann, wenn $xy\geq 0$

Beweis

• $\pm x\leq |x|$

$\pm y\leq |y|$

$\Rightarrow \pm (x+y)\leq |x|+|y|\Rightarrow |x+y|\leq |x|+|y|$

• $|x|=|x-y+y|\leq |x-y|+|y|$

$\Leftrightarrow |x|-|y|\leq |x-y|$

$\pm (|x|+|y|)\leq |x-y|\Rightarrow ||x|-|y||\leq |x-y|$

Intervalle (a<b)

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.