Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Grenzwert

1.1 Grenzwert

Definition:

$f$ hat in $x_{0}$ den Limes oder auch Grenzwert $c\in \mathbb {R}$ , kurz $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=c$ oder $x\rightarrow x_{0}:\ f(x)\rightarrow c$, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt mit $\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ für alle $x\in I$ mit $0<\vert x-x_{0}\vert <\delta$

Geometrisch

(hier fehlt eine Zeichnung)

Achtung: selbst wenn $f(x_{0})$ definiert ist, wird es nicht berücksichtigt.

1.2 Folgenkriterium

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ existiert genau dann, wenn für jede Folge $(X_{n})\in I\backslash \{x_{0}\}$ mit $x_{n}\rightarrow x_{0}(n\rightarrow \infty )$ der Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})$ existiert.

Dann sind alle Grenzwerte gleich.

Beweis

"$\Rightarrow$" Sei $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=c$

Sei $(x_{n})$ Folge wie oben

Sei $\epsilon >0$ , dazu existiert $\delta >0$ mit:

$\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ für $x\in I,0<\vert x-x_{0}\vert <\delta$ zu $\delta >0$ existiert $n_{0}$ mit: $\vert x_{n}-x_{0}\vert <\delta (n\geq n_{0})$ also $\vert f(x_{n})-c\vert <\epsilon (n\geq n_{0})$

$\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=c$

"$\Leftarrow$" Sei $x_{n}\rightarrow x_{0}$ , $f(x_{n})\rightarrow c(n\rightarrow \infty )$

Annahme:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ existiert nicht

Was heißt das? Es gibt ein $\epsilon >0$, so dass für jedes $\delta <0$ , z.B. $\delta ={\frac {1}{n}}$ , es ein $\xi _{n}\in I\backslash \{x_{0}\}$ mit $\vert f(\xi _{n})-c\vert \geq \epsilon$.

Mischfolge: $(x_{1},\xi _{1},x_{2},\xi _{2},...)=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},...)$ Folge in $I\backslash \{x_{0}\}$, konvergent gegen $x_{0}$. Nach Voraussetzung existiert $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})$

$\Rightarrow \lim _{k\rightarrow \infty }\underbrace {f(y_{2k}} _{f(\xi _{k}}=\lim _{k\rightarrow \infty }\underbrace {f(y_{2k-1})} _{f(\xi _{k})}=c$

$\vert f(\xi _{k})-c\vert \geq \epsilon$

Widerspruch !

Beispiel

$\lim _{x\rightarrow 2}x^{2}=4$

$\epsilon >0:\vert x^{2}-4\vert <\epsilon$ für $\vert x-2\vert <\delta$

$\vert x^{2}-4\vert =\vert (x-2)(x+2)\vert =\vert x-2\vert (\vert x\vert +2)$

Sei $\vert x-2\vert <1:\vert x\vert <2+1=3$

$\vert x^{2}-4\vert <5\vert x-2\vert$ für $\vert x-2\vert <1$

$\vert x^{2}-4\vert <\epsilon$ für $\vert x-2\vert <\delta ={\frac {3}{5}}$

1.3 Grenzwertregeln

Gegeben $f,g,h:I\backslash \{x_{0}\}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)\rightarrow a,g(x)\rightarrow b(x\rightarrow x_{0})$ sowie $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann gelten

(a) $f(x)+g(x)\rightarrow a+b$

(b) $\lambda f(x)\rightarrow \lambda a$

(c) $f(x)g(x)\rightarrow ab$

(d) $\vert f(x)\vert \rightarrow \vert a\ \vert$

(e) $f(x)\leq g(x)(x\in I\backslash \{x_{0}\})\Rightarrow a\leq b$

(f) $b\not =0\Rightarrow g(x)\not =0I,0<\vert x-x_{0}\vert <\sigma$ und ${\frac {f(x)}{g(x)}}\rightarrow {\frac {a}{b}}(x\rightarrow x_{0})$

(g) $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ und $a=b\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}h(x)=a=b$

Beweis

Folgenkriterium

Bemerkung zu $(f)$: Sei z.B. $b<0$

wähle $\epsilon =0$, dazu $\sigma >0$ mit $\vert g(x)-b\vert <b$ für $0<\vert x-x_{0}\vert <\sigma$

$g(x)=b+(g(x)-b)\geq b-\vert g(x)-b\vert >0$

Beispiele

(1) Polynome $P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$

$=\sum _{\nu =0}^{n}a_{\nu }x^{\nu }$

$\lim _{\nu =0}P(x)=P(x_{0})$

Induktion

$P(x)=a_{0}$

$P(x)=x($"$\delta =\epsilon$"$)$

$P(x)=a_{1}x$

$P(x)=x^{2}=xx$

$\ddots$

$P(x)=(a_{0}+...+a_{n-1}x^{n-1})+a_{n}x^{n}$

$x^{n}=xx^{n-1}$

(2) Rationale Funktionen

$R(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}({\text{wo}}Q(x)\not =0)$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}R(x)=R(x_{0})($ falls $\mathbb {Q} (x_{0})\not =0)$

(3) $f(x)={\sqrt {x}}(I=[o,\infty ))$

${\sqrt {x}}\rightarrow {\sqrt {x_{0}}}(x\rightarrow x_{0})$

$x_{n}\rightarrow x_{0},x_{n}\geq 0\Rightarrow {\sqrt {x_{n}}}\rightarrow {\sqrt {x_{0}}}$

oder

$\vert {\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}\vert =\left|{\frac {x-x_{0}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}\right|\leq {\frac {\vert x-x_{0}\vert }{\sqrt {x_{0}}}}<\epsilon (\vert x-x_{0}\vert <{\sqrt {x_{0}}}\epsilon =\delta$

hier fehlt noch einiges ....

1.11 Erweiterungen

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.