Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Grenzwert

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1.1 Grenzwert[Bearbeiten]

Definition:[Bearbeiten]

hat in den Limes oder auch Grenzwert , kurz oder , wenn es zu jedem ein gibt mit für alle mit

Geometrisch

(hier fehlt eine Zeichnung)

Achtung: selbst wenn definiert ist, wird es nicht berücksichtigt.

1.2 Folgenkriterium[Bearbeiten]

existiert genau dann, wenn für jede Folge mit der Grenzwert existiert.

Dann sind alle Grenzwerte gleich.

Beweis
"" Sei
Sei Folge wie oben
Sei , dazu existiert mit:
für zu existiert mit: also

"" Sei ,

Annahme:

existiert nicht

Was heißt das? Es gibt ein , so dass für jedes , z.B. , es ein mit .

Mischfolge: Folge in , konvergent gegen . Nach Voraussetzung existiert

Widerspruch !
Beispiel
für
Sei
für
für

1.3 Grenzwertregeln[Bearbeiten]

Gegeben mit sowie . Dann gelten

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) und
(g) und
Beweis
Folgenkriterium

Bemerkung zu : Sei z.B.

wähle , dazu mit für

Beispiele

(1) Polynome

Induktion

""

(2) Rationale Funktionen

falls

(3)

oder

hier fehlt noch einiges ....

1.6 Komposition von Funktionen[Bearbeiten]

1.7 Einseitige Grenzwerte[Bearbeiten]

1.8 Satz[Bearbeiten]

1.9 Monotone Funktionen[Bearbeiten]

1.10 Satz[Bearbeiten]

1.11 Erweiterungen[Bearbeiten]

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.