Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Vollständigkeit

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2.1. Schranken[Bearbeiten]

Sei

heisst obere Schranke von , wenn für alle gilt.
heisst untere Schranke von , wenn für alle gilt.


Falls eine obere (untere) Schranke existiert, so heisst nach oben (nach unten) beschränkt.

heisst beschränkt, wenn nach oben und nach unten beschränkt ist.

Beispiel

ist nach unten beschränkt, z.B. durch 0. ist nach oben beschränkt, z.B. durch 1.

2.2. Vollständigkeitsaxiom[Bearbeiten]

Jede nach oben beschränkte Menge besitzt eine kleinste[größte] obere[untere] Schranke, das Supremum[Infimum] von M: sup M[inf M].

Bespiel (2.1): ist obere Schranke
Annahme:

Hier fehlt noch etwas ...

2.3. Größte untere Schranke[Bearbeiten]

Ist , nach unten beschränkt, dann existiert die größte untere Schranke von , das Infimum von M . Wenn inf , so heißt es Minimum .


Beweis
Sei nach oben beschränkt.
zu zeigen
ist die größte untere Schranke von . (Übung)
Beispiel
Behauptung


ist eine untere Schranke


.

2.4. Satz[Bearbeiten]

2.5. Regeln für sup und inf[Bearbeiten]

2.6. Archimedische Eigenschaft[Bearbeiten]

2.7. Satz und Definition[Bearbeiten]

2.8. Erweiterung von durch [Bearbeiten]

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.