Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§4 Unendliche Reihen

4.1 Unendliche Reihen

Setze $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Wenn $\lim _{n\to \infty }s_{n}$ existiert, so sehen wir (*) $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}$.

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ heißt unendliche Reihe, $S_{n}$ ihre n-te Partialsumme.

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ heißt konvergent, wenn (*) existiert, sonst divergent.

4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:

(i) $a_{k}\to 0(k\to \infty )$

(ii) $r_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}\to 0(n\to \infty )$ (Reihenrest)

Beweis: $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\to s(n\to \infty )$;

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0(n\to \infty )$

$r_{n}=s-S_{n}\to s-s=0(n\to \infty )$

4.3 Teleskopreihen

$(a_{k})$ sei Nullfolge. Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})=a_{0}$

dann $\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-a_{k+p})=a_{0}+a_{1}+...+a_{p-1}$.

Beweis: $n\geq pS_{n}=\sum _{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+p})=\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k+p}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{j=p}^{n+p}a_{j}$

...

Beispiel: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+4n+3}}$

$n^{2}+4n+3=(n+1)(n+3)\Rightarrow {\frac {1}{(n+1)(n+3)}}={\frac {\frac {1}{2}}{(n+1)}}-{\frac {\frac {1}{2}}{(n+3)}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+4n+3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+3}})=a_{0}+a_{1}={\frac {\frac {1}{2}}{0+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{1+3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}={\frac {5}{8}}$.

Achtung! $\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\frac {1}{2}}{(n+1)}}-{\frac {\frac {1}{2}}{(n+3)}}\right)\neq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {1}{2}}{(n+1)}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {1}{2}}{(n+3)}}$, da die einzelnen Summen divergent sind.

...

4.4 Satz

Wenn $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ konvergent, dann gilt

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

und

$\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}=c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(c\in \mathbb {R}$ )

Beweis, siehe Folgen.

4.5 Cauchykriterium (für Reihen)

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_{0}$ gibt und $\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ für alle $n>m\geq n_{0}$.

Beweis: ...

4.6 Die harmonische Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ist divergent.

Beweis: ...

4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)

Sei $(a_{k})_{k\geq 0}$ eine monoton fallende Nullfolge.

Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$ mit

$S_{2n-1}\leq s\leq S_{2n}\ \ \ \ (S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k})$

Beweis:

$S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n-2}-a_{2n+1}\leq 0\ \ \ S_{2n}\downarrow$

$S_{2n+3}-S_{2n+1}=-a_{2n+3}+a_{2n+2}\geq 0\ \ \ S_{2n+1}\uparrow$

$S_{2n}-S_{2n-1}=a_{2n}\geq 0$

$S_{1}\leq S_{3}\leq ...\leq S_{2n-1}\leq s\leq S_{2n}\leq S_{2n-2}\leq ...\leq S_{0}$

$\lim _{n\to \infty }S_{2n-1}=\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$ da $a_{2n}\rightarrow 0(n\rightarrow \infty )$

Siehe auch

Leibniz-Kriterium

4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe

Die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}$ konvergiert, da $(a_{k}={\frac {1}{k+1}}\downarrow nullfolge)$

Wert s: ${\frac {1}{2}}\leq s\leq 1$

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\leq s\leq 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}$

4.9 Abel-Dirichletkriterium

Sei $(a_{k})$ eine monoton fallende Nullfolge und sei $(b_{k})$ eine Folge mit: $B_{k}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$ sei beschränkt. Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(a_{k+1}-a_{k})$

Bemerkung:

$b_{k}=(-1)^{k},\ \ B_{k}={\begin{cases}1\ \ \ k\ {\text{gerade}}\\0\ \ \ k\ {\text{ungerade}}\end{cases}}$

Beweis: "abelsche partielle Summation"

${\begin{matrix}\sum _{k=m-1}^{n}a_{k}b_{k}&=&\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})\\&=&\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{j=m}^{n-1}a_{j+1}B_{j}&k-1=j\\&=&a_{n}B_{n}-a_{m+1}B_{m}+\sum _{k=m+1}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m+1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}\\&=&a_{n}B_{n}-a_{m+1}B_{m}+\sum _{k=m+1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}\end{matrix}}$

Konvergenz:

$\left|B_{k}\right|\leq B(k\in \mathbb {N} _{0})$

$\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \underbrace {a_{n}B} _{\leq 0}+\underbrace {a_{m+1}} _{\leq 0}+\sum _{k=m+1}^{n-1}\underbrace {a_{n}-a_{n+1}} _{\geq 0}B=B(a_{n}+a_{m+1}+a_{m+a}-a_{n})=2B_{am+1}$

zu $\epsilon >0\ \exists n_{0}:a_{m+1}\leq \epsilon /B(m\geq n_{0})$

d.h. $\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}b_{k}\right|<\epsilon /B(n>m\geq n_{0})$ d.h. CK erfüllt

Reihenwert

$(m=-1,B_{-1}=0)$

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{0}B_{-1}+\sum _{k=0}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}$

$n\rightarrow \infty :\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}b_{k}=0-0+\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})B_{k}$

${\begin{matrix}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k\cdot 1}}{k}}&=&1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...-...\\&=&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{16}}+...+{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}+...\end{matrix}}$

${\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}={\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)$

$S_{3n}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}$

$={\frac {1}{2}}(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}...+{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}})$

$={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{-1}{\frac {1}{j}}n\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }S_{3n}$

$={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}$

$={\frac {1}{2}}s$

$S_{3n-1}=S_{3n}+{\frac {1}{2n+1}}\rightarrow {\frac {1}{2}}s$

$S_{3n-2}=S_{3n+1}+{\frac {1}{4n+2}}\rightarrow {\frac {1}{2}}s$

Siehe auch

Kriterium von Abel

Kriterium von Dirichlet

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.