Setze
. Wenn
existiert, so sehen wir (*)
.
heißt unendliche Reihe,
ihre n-te Partialsumme.
heißt konvergent, wenn (*) existiert, sonst divergent.
4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:
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- (i)

- (ii)
(Reihenrest)
Beweis:
;
sei Nullfolge. Dann konvergiert
dann
.
Beweis:
...
Beispiel:
.
Achtung!
, da die einzelnen Summen divergent sind.
...
Wenn
und
konvergent, dann gilt

und
)
Beweis, siehe Folgen.
Die Reihe
ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem
ein
gibt und
für alle
.
Beweis: ...
ist divergent.
Beweis: ...
4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)
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Sei
eine monoton fallende Nullfolge.
Dann konvergiert
mit

Beweis:





da 
- Siehe auch
- Leibniz-Kriterium
4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe
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Die Reihe
konvergiert, da
Wert s:
Sei
eine monoton fallende Nullfolge und sei
eine Folge mit:
sei beschränkt. Dann konvergiert
Bemerkung:

Beweis: "abelsche partielle Summation"

Konvergenz:


- zu

- d.h.
d.h. CK erfüllt
Reihenwert











- Siehe auch
- Kriterium von Abel
- Kriterium von Dirichlet