Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§4 Unendliche Reihen

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4.1 Unendliche Reihen[Bearbeiten]

Setze . Wenn existiert, so sehen wir (*) .

heißt unendliche Reihe, ihre n-te Partialsumme.

heißt konvergent, wenn (*) existiert, sonst divergent.

4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:[Bearbeiten]

(i)
(ii) (Reihenrest)

Beweis: ;

4.3 Teleskopreihen[Bearbeiten]

sei Nullfolge. Dann konvergiert

dann .

Beweis:

...

Beispiel:

.

Achtung! , da die einzelnen Summen divergent sind.

...

4.4 Satz[Bearbeiten]

Wenn und konvergent, dann gilt

und

)

Beweis, siehe Folgen.

4.5 Cauchykriterium (für Reihen)[Bearbeiten]

Die Reihe ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ein gibt und für alle .

Beweis: ...

4.6 Die harmonische Reihe[Bearbeiten]

ist divergent.

Beweis: ...

4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)[Bearbeiten]

Sei eine monoton fallende Nullfolge.

Dann konvergiert mit

Beweis:

da
Siehe auch
Leibniz-Kriterium

4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe[Bearbeiten]

Die Reihe konvergiert, da

Wert s:

4.9 Abel-Dirichletkriterium[Bearbeiten]

Sei eine monoton fallende Nullfolge und sei eine Folge mit: sei beschränkt. Dann konvergiert

Bemerkung:

Beweis: "abelsche partielle Summation"

Konvergenz:

zu
d.h. d.h. CK erfüllt

Reihenwert


Siehe auch
Kriterium von Abel
Kriterium von Dirichlet

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.