Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Absolut konvergente Reihen

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ff Beispiel

beschränkt
konvergent

5.1 Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn konvergent. Absolut konvergente Reihen sind konvergent.

Beweis:

erfüllt zu : mit

Beispiel:

wie bei Abel-Dirichlet absolut konvergent

5.2 Majorantenkriterium[Bearbeiten]

Gilt und ist konvergent, dann ist absolut konvergent.

Beweis:

zu :

Beispiel:

Anmerkung: Gilt die Ungleichung: ? Ja, da:

5.3 Minorantenkrierium[Bearbeiten]

Gilt und ist divergent, dann ist auch divergent.

Beweis:

Wäre kovergent (beachte: ) so wäre auch konvergent, da

Bezeichnung:

und konvergent, dann heißt die Reihe konvergente Majorante.

5.4 Die geometrische Reihe[Bearbeiten]

konvergent absolut für , und divergent sonst.

Beweis:

divergent

5.5 Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Gilt , dann ist absolut konvergent.

Beweis:

Wähle
Dann
also
Für

Insgesamt: konvergente Majorante

Beispiel: absolut konvergent, falls

5.6 Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Gilt und , dann konvergiert absolut

Beweis
(*)

Multipliziere (*) für

absolut konvergent
Beispiel
absolut konvergent für alle

5.7 Verdichtungskriterium von Cauchy[Bearbeiten]

5.8 d-adische Entwicklungen[Bearbeiten]

Dezimalentwicklung

Anstelle 10 kann man

Jede reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte d-adische Entwicklung

mit

wenn man " für " verbietet

Beweis (Existenz)

liegt in genau einem Intervall der Form für ein

...

d.h.

(Eindeutigkeit)

Sei , , d.h. für , aber

z.B. :


links

Es gilt "=" überall:

5.9 ist überabzählbar (= nicht abzählbar)[Bearbeiten]

heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion gibt

Beweis

Es genügt: nicht abzählbar!

Annahme, doch

(Dezimalsystem) verboten 999

Setze

Insbesondere Widerspruch! zur Definition von

5.10 Komplexe Reihen[Bearbeiten]

heißt konvergent, wenn die reellen Reihen und konvergieren.

heißt absolut konvergent, wenn konvergiert.

Wurzel-, Quotienten- und Majorantenkriterium gelten weiterhin.

Bemerkung
absolut konvergent, wenn und
Abel-Dirichlet-Kriterium gilt weiter

sei beschränkt. Dann konvergiert

Beispiel
konvergent für


Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.