Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Der Körper der komplexen Zahlen

5.3. Gauß'sche Ebene

$z=x+iy$

${\bar {z}}:=x-iy$ ist die zu z konjugiert komplexe Zahl.

x= Re z Realteil von z

y= Im z Imaginärteil von z

5.4. Regeln

Re z = ${\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$,

Im z = ${\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$,

$z*{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}$,

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$,

${\overline {z*w}}={\bar {z}}*{\bar {w}}$,

${\overline {\frac {z}{w}}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}(w\neq 0)$,

${\frac {z}{w}}={\frac {z*{\bar {w}}}{w*{\bar {w}}}}\Rightarrow$ rellen Nenner, insbesondere ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z*{\bar {z}}}}$

Beweis: ...

5.5. Dreiecksungleichung (in $\mathbb {C}$)

$\left|z\right|:={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ heißt der Betrag von z.

$\left|z+w\right|\leq \left|z\right|+\left|w\right|$ (Dreiecksungleichung)

$\left|\left|z\right|-\left|w\right|\right|\leq \left|z-w\right|$ (umgekehrte Dreiecksungleichung)

"=" genau dann, wenn $z=0$ oder $w=0$ oder $z{\bar {w}}\geq 0$

Beweis: ...

5.6. Binomische Formel und geometrische Summenformel

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.