Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§6 Doppelreihen

6.1 Vorbemerkung

Für $a\in \mathbb {R}$ setzt man

$a^{+}={\begin{cases}a\ \ {\text{falls }}a>0\\0\ \ {\text{sonst}}\end{cases}}=max\{a,0\}$

$a^{-}={\begin{cases}-a\ \ {\text{falls }}a<0\\0\ \ {\text{sonst}}\end{cases}}=max\{-a,0\}$

$a^{+}-a^{-}=a,\ \ \ \ a^{+}+a^{-}=\vert a\vert$

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{+}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{-}$ $\sum _{k=0}^{\infty }\vert a_{k}\vert =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{+}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{-}$

Falls die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut konvergiert

Bemerkung

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergieren

Es ist zu beachten, dass: $(a_{k}^{+},a_{k}^{-}\geq 0)$

6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe

Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion $\Phi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

(oder $\mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ ):

Die umgeordnete Folge ist (Reihe):

$(a_{\Phi (k)})$

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}$

Beispiel

1 2 3 4 5 6 7  8  9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...

$\Phi (n)=?$

$\Phi (3n)=4n$

$\Phi (3n+1)=2n+1$

$\Phi (3n+2)=4n+2$

Bijektion $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\Phi (k)-1}}{\Phi (k)}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\Phi (k)-1}}{k}}$

6.3 Umordnungssatz von Riemann

Ist $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist $s\in \mathbb {R}$ gegeben, dann existiert eine Umordnung $\Phi$ mit $\sum _{k=0}^{\infty }k_{\Phi (k)}=s$

(ohne Beweis)

6.4 Umordnungssatz

Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

(absolute Konvergenz auch links)

Beweis

zuerst seien alle $a_{k}\geq 0$

$\sum _{k=0}^{n}\underbrace {a_{\Phi }(k)} _{\geq 0}\leq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

$\Rightarrow$ absolute Konvergenz von $\sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}\leq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

auch $k=\Phi ^{-1}(\Phi (k))\Rightarrow \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\leq \sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}$

$a_{k}=a_{k}^{+}-a_{k}^{-}$ $a_{\Phi (k)}=a_{\Phi (k)}^{+}-a_{\Phi (k)}^{-}$

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{\Phi (k)}$

$a_{k}\in \mathbb {C} :a_{k}=a_{k}'+ia_{k}''(a_{k}'\ {\text{und}}\ a_{k}''\in \mathbb {R} )$

$a_{\Phi }(k)=a_{\Phi }(k)'+ia_{\Phi }(k)''$

6.5 Multiplikation von Reihen

(*) $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit $c_{n}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}b_{n-j}=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}$

Wenn $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ absolut konvergent, dann auch $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$ und es gilt (*)

${\begin{matrix}a_{0}b_{0}&a_{0}b_{1}&a_{0}b_{2}&a_{0}b_{3}&...\\a_{1}b_{0}&a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}&...\\a_{2}b_{0}&a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}&...\\a_{3}b_{0}&a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}&...\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

• Diagonalsummen
• Spaltensummen
• Zeilensummen
• Quadratsummen

Cauchyprodukt

Beweis

Zuerst alle $a_{k}\geq 0,b_{k}\geq 0$

$\sum _{n=0}^{m}c_{n}\leq \sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{m}a_{j}b_{k}\leq \sum _{n=0}^{2m}c_{n}$

alle $a_{j},b_{j}\geq 0$

$\sum _{n=0}^{m}c_{n}\leq \sum _{j=0}a_{j}\cdot \sum _{k=0}b_{k}\leq \sum _{n=0}^{2m}c_{n}$

(1) $(\sum _{n=0}^{m}c_{n})$ beschränkt, also $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$ konvergent

(1) + (2) $m\rightarrow \infty \Rightarrow$ (*)

$a_{j},b_{k}\in \mathbb {R}$ $a_{j},b_{k}=(a_{j}^{+}-a_{j}^{-})(b_{k}^{+}-b_{k}^{-})$ $=a_{j}^{+}b_{k}^{+}-a_{j}^{+}b_{k}^{-}a_{j}^{-}b_{k}^{+}+a_{j}^{-}b_{k}^{-}$

vier Produkte wie im 1. Teil

$a_{j},b_{k}\in \mathbb {C}$ :

$(a_{j}'+ia_{j}'')(b_{k}'+ib_{k}'')$

Beispiel

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{k!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {b^{k}}{k!}}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {a^{k}}{k!}}{\frac {b^{n-k}}{(n-k)!}}{\frac {n!}{n!}}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {} _{(a+b)^{n}}$

hier fehlt einiges .....

Beispiel

hier fehlt einiges .....

Beispiel

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{\sqrt[{}]{k}}}$ konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut

$\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{\sqrt[{}]{k}}}\right)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{\sqrt[{}]{k}}}{\frac {(-1)^{n-k-1}}{\sqrt[{}]{n-k}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\underbrace {\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt[{}]{n-k}}}} _{=:d_{n}}$ die Reihe divergiert!

${\sqrt[{}]{k(n-k)}}\leq {\frac {k+n-k}{2}}={\frac {n}{2}}$

$\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt[{}]{k(n-1)}}}\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2}{n}}={\frac {2(n-1)}{n}}\geq 1(n\geq 2)$

$\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}d_{n},d_{n}\geq 1$ divergent

6.6 Doppelreihe

Sei $(c_{jk})$ ein doppelt indiziertes Schema $(j,k\in \mathbb {N} _{0})$

Dann heißt $\sum _{j,k=0}^{\infty }c_{jk}$ Doppelreihe.

Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung $\Phi$ von $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{\Phi (n)}$ absolut konvergiert.

Man sieht $\sum _{j,k=0}^{\infty }c_{jk}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{\Phi (n)}$

Dies ist unabhängig von $\Phi$.

Eine Abzählung von $\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$ ist eine bijektive Abbildung $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}$

$n\mapsto (j,k)=\Phi (n)$

Beispiel

$\Phi ^{-1}:\mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {N}$

bijektiv: weil jedes $n\in \mathbb {N}$ hat eine eindeutige Darstellung der Form $2^{j}(2k+1)$

Beweis

Seien $\Phi _{1},\Phi _{2}$

hier fehlt etwas ...

$\psi =\Phi _{2}^{-1}\circ \Phi _{2}$

Bijektion $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

$c_{\Phi _{1}(n)}=c_{\Phi _{2}\circ \Psi (n)}:$

$(c_{\Phi _{1}(n)})$ ist Umordnung von $(c_{\Phi _{2}(n)})$

Umordnungssatz

Beispiel

$\sum _{j,k=0}^{\infty }\underbrace {2^{-j}3^{-k}} _{=:c_{jk}}=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }2^{-j}3^{-k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{3}}}}=2\cdot {\frac {3}{2}}=3$

6.7 Doppelreihensatz

$\sum _{j,k=0}^{\infty }c_{jk}$

$=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }c_{jk}$ Zeilensummen

$=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }c_{jk}$ Spaltensummen

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\max =\{j,k\}=n}c_{jk}$ Quadratsummen

$=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j+k=n}^{\infty }c_{jk}$ Diagonalsumme

falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit $\vert c_{jk}\vert$ anstelle $c_{jk}$ existiert.

Beweis

Für $c_{jk}\geq 0(j,k\in \mathbb {N} _{0})$

dann $c_{jk}\in \mathbb {R}$ mit $c_{jk}=c_{jk}^{+}-c_{jk}^{-}$

dann $c_{jk}\in \mathbb {C}$ mit $c_{jk}=a_{jk}+ib_{jk}$

alle dann $c_{jk}\in \mathbb {R}$ mit $c_{jk}=c_{jk}^{+}-c_{jk}^{-}\geq 0$:

$\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}c_{jk}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}c_{jk}$

$\sum _{j,k=0}^{\infty }c_{jk}=L$ existiert, dann $\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}c_{jk}\leq L$

$n\rightarrow \infty :\sum _{j=0}^{m}\left(\sum _{k=0}^{\infty }\right)c_{jk}\leq L$

$n\rightarrow \infty :\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }c_{jk}\leq L$

Zeilensummen, Spaltensummen genauso

Quadratsummen:

$\sum _{n=0}^{N}\sum _{\max =\{j,k\}=n}c_{jk}=\sum _{n=0}^{N}\sum _{l=0}^{N}c_{nl}\leq L$

Spezialfall:

mit $m=n=N$

Diagonalsummen:

$\sum _{n=0}^{N}\sum _{j+k=n}c_{jk}\leq \sum _{n=0}^{N}\sum _{\max =\{j,k\}=n}c_{jk}\leq L$

Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=0}^{m}c_{jk}\leq \sum _{l=0}^{2max\{m,n\}}\sum _{j+k=l}c_{jk}$

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=0}^{m}c_{jk}\geq \sum _{l=0}^{min\{m,n\}}\sum _{j+k=l}c_{jk}$

Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.

zu zeigen

$D=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{j+k=n}c_{jk}\geq L$

$\Rightarrow D\leq D$

Beispiel

$c_{jj}=-1$

$c_{jk}=0$ für $1\leq k<j$

$c_{jk}=2j-k$ für $k>j$

$\sum _{j,k=1}^{\infty }\vert c_{jk}\vert$ existiert nicht.

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.