Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§6 Doppelreihen

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6.1 Vorbemerkung[Bearbeiten]

Für setzt man


Falls die Reihe absolut konvergiert

Bemerkung

konvergiert genau dann absolut, wenn und konvergieren

Es ist zu beachten, dass:

6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe[Bearbeiten]

Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion

(oder ):

Die umgeordnete Folge ist (Reihe):

Beispiel
1 2 3 4 5 6 7  8  9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...

Bijektion

6.3 Umordnungssatz von Riemann[Bearbeiten]

Ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist gegeben, dann existiert eine Umordnung mit

(ohne Beweis)

6.4 Umordnungssatz[Bearbeiten]

Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt

(absolute Konvergenz auch links)

Beweis

zuerst seien alle

absolute Konvergenz von und

auch

6.5 Multiplikation von Reihen[Bearbeiten]

(*)

mit

Wenn und absolut konvergent, dann auch und es gilt (*)

  • Diagonalsummen
  • Spaltensummen
  • Zeilensummen
  • Quadratsummen
Cauchyprodukt
Beweis

Zuerst alle

alle

(1) beschränkt, also konvergent

(1) + (2) (*)


vier Produkte wie im 1. Teil

 :

Beispiel


hier fehlt einiges .....


Beispiel


hier fehlt einiges .....


Beispiel

konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut

die Reihe divergiert!

divergent

6.6 Doppelreihe[Bearbeiten]

Sei ein doppelt indiziertes Schema

Dann heißt Doppelreihe.

Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung von die Reihe absolut konvergiert.

Man sieht

Dies ist unabhängig von .

Eine Abzählung von ist eine bijektive Abbildung

Beispiel

bijektiv: weil jedes hat eine eindeutige Darstellung der Form

Beweis

Seien


hier fehlt etwas ...


Bijektion

ist Umordnung von

Umordnungssatz


Beispiel

6.7 Doppelreihensatz[Bearbeiten]

Zeilensummen
Spaltensummen
Quadratsummen
Diagonalsumme

falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit anstelle existiert.

Beweis
Für
dann mit
dann mit
alle dann mit :
existiert, dann

Zeilensummen, Spaltensummen genauso

Quadratsummen:

Spezialfall:

mit

Diagonalsummen:

Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:

Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.

zu zeigen
Beispiel
für
für

existiert nicht.

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.