Für
setzt man
Falls die Reihe
absolut konvergiert
- Bemerkung
konvergiert genau dann absolut, wenn
und
konvergieren
Es ist zu beachten, dass:
Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion
(oder
):
Die umgeordnete Folge ist (Reihe):


- Beispiel
1 2 3 4 5 6 7 8 9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...



Bijektion
Ist
konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist
gegeben, dann existiert eine Umordnung
mit
(ohne Beweis)
Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt
(absolute Konvergenz auch links)
- Beweis
zuerst seien alle
absolute Konvergenz von
und
auch
(*)
mit
Wenn
und
absolut konvergent, dann auch
und es gilt (*)
- Diagonalsummen
- Spaltensummen
- Zeilensummen
- Quadratsummen
- Cauchyprodukt
- Beweis
Zuerst alle
alle
(1)
beschränkt, also
konvergent
(1) + (2)
(*)
vier Produkte wie im 1. Teil
:
- Beispiel



hier fehlt einiges .....
- Beispiel
hier fehlt einiges .....
- Beispiel
konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut
die Reihe divergiert!
divergent
Sei
ein doppelt indiziertes Schema
Dann heißt
Doppelreihe.
Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung
von
die Reihe
absolut konvergiert.
Man sieht
Dies ist unabhängig von
.
Eine Abzählung von
ist eine bijektive Abbildung
- Beispiel
bijektiv: weil jedes
hat eine eindeutige Darstellung der Form
- Beweis
Seien
hier fehlt etwas ...
Bijektion
ist Umordnung von
Umordnungssatz
- Beispiel

Zeilensummen
Spaltensummen
Quadratsummen
Diagonalsumme
falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit
anstelle
existiert.
- Beweis
- Für

- dann
mit 
- dann
mit 
- alle dann
mit
:

existiert, dann 


Zeilensummen, Spaltensummen genauso
Quadratsummen:

Spezialfall:
- mit

Diagonalsummen:

Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:


Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.
- zu zeigen


- Beispiel

für 
für 
existiert nicht.