Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	12

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. /Definition/Begriff/Inhalt
2. /Definition/Begriff/Inhalt
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf ${}M$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${}M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra ist.

Lösung

Die ganze Menge ist das Komplement der leeren Menge und gehört somit dazu. Das System ist nach Definition unter Komplementbildung abgeschlossen. Die Vereinigung zweier endlicher Teilmengen ist wieder endlich, und die Vereinigung einer Menge, deren Komplement endlich ist, mit einer weiteren Menge (egal, ob sie zu dem System gehört oder nicht) besitzt ebenfalls diese Eigenschaft.

Aufgabe (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${}12$ cm und einen inneren Durchmesser von ${}4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${}20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Lösung

Es sei ${}b$ die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist

${}b\pi {\left(6^{2}-2^{2}\right)}=b\pi 32\,.$

Die unbekannte Dicke sei ${}d$. Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also

${}2000bd=b\pi 32\,.$

Somit ist

${}d={\frac {\pi 32}{2000}}\cong {\frac {100}{2000}}={\frac {1}{20}}\,.$

Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare eindimensionale Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ und differenzierbare Abbildungen ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ und ${}\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und ${}\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.

Lösung Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Hintereinanderschaltung Identität/Reihenfolge/Eindimensional/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung