Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Liste der Hauptsätze

???: Satz vom Igel

Auf der ${}2$- Sphäre

besitzt jedes stetige Vektorfeld ${}f\colon S^{2}\rightarrow TS^{2}$ zumindest eine Nullstelle.

 

???: Existenzsatz für reelle Vektorbündel zu Verklebungsdaten

Es sei ein Verklebungsdatum ${}E_{i}$, ${}i\in I$, über einem topologischen Raum

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

gegeben.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel ${}E\rightarrow X$ und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon E_{i}\rightarrow E{|}_{U_{i}}$ derart, dass

${}\psi _{i}{|}_{E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}=\psi _{j}{|}_{E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

 

???: Lokaler Test für Garbenisomorphismus

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann ein Garbenisomorphismus, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

ein Isomorphismus ist.

 

???: Lokale Bestimmtheit eines Garbenmorphismus

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf einem topologischen Raum ${}X$ und es seien

$\alpha ,\beta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

Garbenmorphismen.

Dann ist ${}\alpha =\beta$ genau dann, wenn ${}\alpha _{p}=\beta _{P}$ für jeden Punkt ${}P\in X$ gilt.

 

???: Vergarbungssatz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${}{\mathcal {F}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Prägarben-Morphismus

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}},$

   der durch

   ${\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}(U),\,s\longmapsto {\left(s_{P}\right)}_{P\in U},$

   gegeben ist.

2. Es ist

   ${}{\widetilde {\mathcal {F}}}_{P}\cong {\mathcal {F}}_{P}\,$

   für jeden Punkt ${}P\in X$.

3. Die Vergarbung ist eine Garbe.
4. Wenn ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe ist, so ist die natürliche Morphismus ${}{\mathcal {F}}\rightarrow {\widetilde {\mathcal {F}}}$ ein Isomorphismus.
5. Zu jedem Prägarben-Morphismus

   $\psi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

   in eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine eindeutige Faktorisierung

   ${\tilde {\psi }}\colon {\widetilde {\mathcal {F}}}\longrightarrow {\mathcal {G}}.$

 

???: Linksexaktheit der globalen Auswertung

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Es sei

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$

ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$.

Dann ist auch der Komplex

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

exakt.

 

???: Schnittring zu ${}D(f)$

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und es sei ${}f\in R$.

Dann ist

${}\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=R_{f}\,.$

Insbesondere ist der globale Schnittring gleich ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=R$.

 

???: Morphismen von beringten Räumen in ein affines Schema

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein lokal beringter Raum und ${}Y=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ein affines Schema.

Dann gibt es zu jedem Ringhomomorphismus ${}\theta \colon R\rightarrow \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume ${}X\rightarrow Y$, der ${}\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.

 

???: Zerlegungssatz für noethersche Räume

Für jeden noetherschen topologischen Raum ${}X$

gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}X=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ in abgeschlossene irreduzible Teilmengen.

 

???: Schnittring zu ${}D_{+}(f)$

Zu einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring ${}R$ und einem homogenen Element ${}f\in R$ von einem Grad ${}\neq 0$ ist

${}D_{+}(f)\cong \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}\,$

als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ein Schema.

 

???: Festlegungssatz für Modulgarben

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$.

Dann geben globale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i}.$

 

???: Schnittmodul zu ${}D(f)$

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das affine Schema zu einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$- Modul mit der zugehörigen Modulgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\widetilde {M}}$. Es sei ${}f\in R$.

Dann ist

${}\Gamma {\left(D(f),{\widetilde {M}}\right)}=M_{f}\,.$

Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich ${}\Gamma {\left(X,{\widetilde {M}}\right)}=M$.

 

???: Exaktheitseigenschaften von quasikohärenten Garben auf affinem Sschema

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln.

Dann liegt auf dem affinen Schema ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu ${}R$ die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {N}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln vor.

 

???: Ausdehnungssatz für quasikohärente Moduln

Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem noetherschen Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$, ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{g}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem globalen Schnitt ${}r\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ mit ${}r{|}_{X_{g}}=0$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}g^{m}r=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{m}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$.
2. Zu einem Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {M}}\right)}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass

   ${}g^{n}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,$

   von einem globalen Schnitt aus ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$ herrührt.

 

???: Getwistete Strukturgarben auf projektiven Schemata

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter kommutativer Ring.

Dann sind die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{Y}(n)$ auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ invertierbar.

 

???: Globale Erzeugtheit von Garben auf dem projektiven Raum

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}$.

Dann gibt es ein ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass ${}{\mathcal {G}}(\ell )$ von globalen Schnitten erzeugt wird.

 

???: Charakterisierungssatz für lokal freie Garben im affinen Fall

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Sei ${}r\in \mathbb {N}$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {p}}$ sind frei vom Rang ${}r$ für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
2. Die Lokalisierungen ${}M_{\mathfrak {m}}$sind frei vom Rang ${}r$ für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ von ${}R$.
3. Es gibt Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R$, die das Einheitsideal erzeugen derart, dass die Nenneraufnahmen ${}M_{f_{j}}$ für jedes ${}j=1,\ldots ,k$. frei vom Rang ${}r$ sind.
4. Die zu ${}M$ gehörige kohärente Garbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist lokal frei vom Rang ${}r$.

 

???: Kern zu Morphismus zwischen lokal freien Garben

Es sei ${}X$ ein noethersches Schema und sei

$\theta \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow G$

ein surjektiver Garbenhomomorphismus zwischen lokal freien Garben auf ${}X$.

Dann ist der Kern von ${}\theta$ ebenfalls lokal frei.

 

???: Satz über die Determinantengarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben auf ${}X$.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\operatorname {Det} G\cong \operatorname {Det} F\otimes \operatorname {Det} H\,.$

 

???: Äquivalenzsatz für lokal freie Garben und geometrische Vektorbündel

Auf einem Schema

entsprechen sich geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben. Ferner entsprechen sich Vektorbündelhomomorphismen und ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismen.

Einem geometrischen Vektorbündel ${}V$ über ${}X$ wird dabei die nach Lemma 17.9 lokal freie Garbe der Schnitte ${}{\mathcal {S}}_{V}$ zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ wird der Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {S}}_{V}\rightarrow {\mathcal {S}}_{W}$ zugeordnet, der einen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow V{|}_{U}$ auf den Schnitt ${}\varphi \circ s\colon U\rightarrow W{|}_{U}$ abbildet.

 

???: Charakterisierung der Glattheit mit Kähler-Differentialen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ${}X$ ein zusammenhängendes Schema von endlichem Typ über ${}K$.

Dann ist ${}X$ genau dann glatt, wenn der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang ${}\operatorname {dim} {\left(X\right)}$ ist.

 

???: Satz über die Kotangentialgarbe auf dem projektiven Raum

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann wird der ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}$- Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}$ durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\,{\stackrel {X_{0},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ eine Funktion ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}$ auf

${}df=\left({\frac {\partial f}{\partial X_{0}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial X_{n}}}\right)\,$

abbildet, beschrieben.

 

???: Satz über die kanonische Garbe auf dem projektiven Raum

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann ist die kanonische Garbe gleich ${}\omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}=\operatorname {Det} \Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-n-1)$.

 

???: Satz über die kanonische Garbe auf einer projektiven Hyperfläche

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ derart, dass die projektive Hyperfläche ${}Y=V_{+}(F)$ glatt ist.

Dann ist die kanonische Garbe gleich ${}\omega _{Y}\cong {\mathcal {O}}_{Y}(d-n-1)$.

 

???: Satz über die Picardgruppe eines faktoriellen Ringes

Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches

ist trivial.

 

???: Charakterisierungssatz für diskrete Bewertungsringe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

 

???: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jedes Primideal der Höhe ${}1$ ist ein Hauptideal.
3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
4. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

 

???: Beziehung zwischen Weildivisoren und Untergarben des Funktionenkörpers

Es sei ${}X$ ein lokal faktorielles noethersches integres Schema.

Dann entsprechen sich die invertierbaren ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermoduln der konstanten Funktionenkörpergarbe ${}{\mathcal {K}}$ und die Weildivisoren über die Korrespondenz

${\mathcal {L}}\longmapsto \sum _{Y}\operatorname {ord} _{Y}({\mathcal {L}})$

und

$D=\sum _{Y}a_{Y}Y\longmapsto {\mathcal {L}}_{D}$

mit

${}{\mathcal {L}}_{D}(U)={\left\{f\in K\mid \operatorname {ord} _{Y}(f)\geq D{\text{ für alle }}Y\in U\right\}}\,$

für eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$.

Diese Zuordnungen sind mit den Gruppenstrukturen verträglich und dabei entsprechen sich trivale Untergarben und Hauptdivisoren. Invertierbare Ideale ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}\subseteq {\mathcal {K}}$ entsprechen den effektiven Divisoren.

 

???: Satz über Picardgruppe und Divisorenklassengruppe im glatten Fall

Es sei ${}X$ ein glattes Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann stimmt die Divisorenklassengruppe von ${}X$ mit der Picardgruppe von ${}X$ überein.

 

???: Satz über injektive Auflösungen von Moduln

Ein ${}R$- Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$

besitzt eine injektive Auflösung.

 

???: Injektive Garben zu Moduln auf einem beringten Raum

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul.

Dann gibt es eine injektive Modulgarbe ${}{\mathcal {I}}$ auf ${}X$ mit ${}{\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {I}}$.

 

???: Satz über rechtsabgeleitete Funktoren

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne ${}R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Dann gelten folgende Eigenschaften

1. Die ${}R^{n}F$ sind wohldefinierte additive Funktoren von ${}{\mathcal {A}}$ nach ${}{\mathcal {B}}$.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus ${}R^{0}F\cong F$ vor.
3. Zu jeder kurzen exakten Sequenz

   $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

   in ${}{\mathcal {A}}$ und jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es natürliche Verbindungshomomorphismen

   $\delta ^{n}\colon R^{n}F(C)\longrightarrow R^{n+1}F(A)$

   derart, dass ein exakter Komplex

   $\ldots \longrightarrow R^{n-1}F(C){\stackrel {\delta ^{n-1}}{\longrightarrow }}R^{n}F(A)\longrightarrow R^{n}F(B)\longrightarrow R^{n}F(C){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}R^{n+1}F(A)\longrightarrow R^{n+1}F(B)\longrightarrow \ldots$

   in ${}{\mathcal {B}}$ vorliegt.

4. Zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen

   ${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&C&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&C'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

   kommutiert das Diagramm

   ${\begin{matrix}R^{n}F(C)&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R^{n}F(C')&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A')&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

 

???: Kohomologisches Kriterium für affine Schemata

Es sei ${}X$ ein noethersches Schema. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}X$ ist ein affines Schema.
2. Für jede quasikohärente Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ ist ${}H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0$
3. Für jede kohärente Idealgarbe ${}{\mathcal {I}}$ auf ${}X$ ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {I}})=0$.

 

???: Verschwindungssatz von Grothendieck

Es sei ${}X$ ein noetherscher topologischer Raum der Dimension ${}d$.

Dann ist ${}H^{i}(X,{\mathcal {G}})=0$ für ${}i>d$ und jede Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen.

 

???: Čech-Kohomologie für projektive Schemata

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein projektives Schema über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}X$.

Dann stimmt die Garbenkohomologie von ${}{\mathcal {F}}$ mit der Čech-Kohomologie zur affinen Überdeckung durch die ${}D_{+}(X_{i})$ überein.

 

???: Kohomologie der getwisteten Strukturgarben auf dem projektiven Raum

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über ${}R$ in ${}d+1\geq 2$ Variablen und

${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}\,$

der zugehörige projektive Raum.

Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)$ gleich

${}{\check {H}}^{p}({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n))={\begin{cases}A_{n}{\text{ für }}p=0,\\0{\text{ für }}1\leq p\leq d-1,\\\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{d+1},\,\sum _{j=1}^{d+1}\alpha _{j}=n}R\cdot X^{\alpha }{\text{ für }}p=d\,.\end{cases}}\,$

 

???: Endlichkeitssatz für Kohomologien auf dem projektiven Raum

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$.

Dann sind die ${}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugte ${}R$- Moduln.

 

???: Endlichkeitssatz für Kohomologien auf projektiven Schemata

Es sei ${}X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}X$.

Dann sind die ${}H^{i}(X,{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte ${}R$- Moduln.

 

???: Satz über invertierbare Garben und Morphismen

Es sei ${}X$ ein Schema über einem kommutativen Ring ${}R$.

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

1. Eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ zusammen mit basispunktfreien Schnitten

   ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\,.$

2. Ein Morphismus

   $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{n}$

   über ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus ${}\varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}$ und dem Morphismus ${}\varphi$ die invertierbare Garbe ${}\varphi ^{*}({\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(1))$ zusammen mit den Schnitten ${}\varphi ^{*}(x_{i})$, ${}i=0,1,\ldots ,n$, zugeordnet.

 

???: Geschlecht von ebenen Kurven

Es sei ${}C=V_{+}(f)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Grad ${}d$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\right)}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}\,.$

 

???: Der Satz von Riemann-Roch für Kurven

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}C$.

Dann ist

${}h^{0}(C,{\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})+1-g\,.$

 

???: Filtrationssatz für lokal freie Garben auf Kurven

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}C$ vom Rang auf ${}C$.

Dann gibt es eine Filtration

${}0={\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{r-1}\subset {\mathcal {F}}_{r}={\mathcal {F}}\,$

mit lokal freien Garben ${}{\mathcal {F}}_{i}$ derart, dass die Quotientengarben ${}{\mathcal {F}}_{i+1}/{\mathcal {F}}_{i}$ invertierbar sind.

 

???: Der Satz von Riemann-Roch für lokal freie Garben auf Kurven

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}C$ vom Rang ${}r$.

Dann ist

${}h^{0}(C,{\mathcal {F}})-h^{1}(C,{\mathcal {F}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {F}})+r{\left(1-g\right)}\,.$