Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen/unbekannte Wahrscheinlichkeit

Einführung

Bei einer stochastisch unabhängigen Versuchswiederholung eines Bernoulli-Experimentes kann die relative Häufigkeit als Schätzer für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit verwendet werden (siehe Gesetze der großen Zahlen)

Visualisierung als Animation

Urnenmodell - Ziehung von Kugeln mit Zurücklegen

Aufgabe 1

Wiederholen Sie die Begriffe "stochastische Konvergenz" und begründen Sie mit Gesetzen der großen Zahlen, warum eine stochastische Konvergenz eine schwächer Konvergenzeigenschaft gegen eine Grenzwert darstellt, als die "deterministische" Konvergenz in der Analysis.

Aufgabe 2

Geben Sie in die Zelle E2 in LibreOffice Calc eine theoretische Wahrscheinlichkeit $p\in (0,1)$ an, mit der eine Bernoulli-Experiment 1000-fach durchgeführt wird. In der Spalte A werden die Versuchswiederholungen von 1-1000 durchnummeriert. In der Spalte B werden die Ergebnisse des Bernoulli-Experimentes 1 (für Treffer) und 0 (für kein Treffer) über =WENN(ZUFALLSZAHL()< $E$2;1;0) generiert.

• Berechnen Sie nun in der Spalte C die absoluten Häufigkeiten als Summe Einträge in C, die jeweils bis zur Versuchsnummer Zeile aufgetreten sind. Dabei generiert =SUMME($B$2:B101) die absolute Häufigkeit von 1. bis zum 100. Versuch. Die Summierung beginnt bei B2 und endet bei B101, wenn in B1 noch eine Spaltüberschrift angegeben wird (passen Sie die Indizierung an Ihre Zellpositionen an.
• Berechnen Sie nun in der Spalte C die relativen Häufigkeiten als Quotient der absoluten Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Versuchswiederholung, bzgl. der Sie die absoluten Häufigkeiten berechnet haben. Die Anzahl der Versuchswiederholung finden Sie in Spalte A.
• Erzeugen Sie ein Diagramm, dass die stochastische Konvergenz der relativen Häufigkeit gegen eine im Allgemeinen unbekannte theoretische Wahrscheinlichkeit veranschaulicht.

Diskrete Verteilung

Man betrachte nun eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ mit dem abzählbaren Träger $Tr(P):=\{\omega _{i}\in \Omega \ :\ i\in I\subseteq \mathbb {N} \}$. Begründen Sie, warum die relativen Häufigkeiten des Eintretens des Ereignisse $A_{i}:=\{\omega _{i}\}$ bei einer [[Stochastische Unabhängigkeit|stochastisch unabhängigen] Versuchswiederholung gegen die theoretische Wahrscheinliichkeit $p_{i}:=P(A_{i})$ konvergiert. Betrachten Sie dazu, die Bernoulli-Verteilung auf $A_{i}$ und $\Omega \setminus A_{i}$.

Siehe auch

• stochastische Konvergenz
• Gesetze der großen Zahlen
• Normen, Metriken, Topologie
• Träger
• Stochastische Unabhängigkeit