Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z,t) \in \R^4 \mid x+x^2y+z^2+t^3 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^4$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^{3}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\mathl{n\times n}{-}Matrizen mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$ eine
\mathl{(n^2-1)}{-}dimensionale
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n^2}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Teilmenge}{}{}
\mathl{M\subseteq \R}{,} die keine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} von $\R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{} von $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{} von $S^1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
zwei
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{}
des $\R^n$. Zeige, dass deren
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{M \cup N}{} ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_f
}
{ \subseteq }{ \R^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n+1}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
der Dimension $n$. Zeige, dass es eine Kette von
\definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_0
}
{ \subseteq} { M_1
}
{ \subseteq} { M_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { M_{n-1}
}
{ \subseteq} { M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { M
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_i$ die Dimension $i$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { { \left\{ A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid A \text{ ist nilpotent} \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der reellen nilpotenten
$2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
sowie die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { N \setminus \{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Ist $N$ zusammenhängend?
b) Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
c) Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $M$.
d) Ist $M$ zusammenhängend?
e) Überdecke
\mathl{M}{} mit expliziten topologischen Karten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\mathl{T_P(i)}{} die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
zur Inklusion
\maabbdisp {i} {M} {\R^n
} {}
und $\gamma$ ein
\definitionsverweis {differenzierbarer Weg}{}{}
in $M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma(0)
}
{ =} {P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^n
}
{ \cong }{ T_P \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_P(i) ( [\gamma] )
}
{ =} { { \left( i \circ \gamma \right) } '(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
und $M$ die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in jedem Punkt dieser Faser
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sei. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
im Sinne von
Definition 53.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) mit dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbdisp {\pi} {TM} {M } {} das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.} Zeige, dass diese Projektionsabbildung \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $TM$ das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$. Zeige, dass die Mengen
\mathl{(T(\alpha))^{-1} (V \times W)}{} zu allen Karten
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
mit
\mathl{V,W \subseteq \R^n}{} offen eine
\definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{}
auf dem Tangentialbündel bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Realisiere das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
von $Y$ als eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
von $W \times \R^n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {U \subseteq Y
} {}
eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir $\varphi$ auch als Abbildung nach $\R^n$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ \partial_i }{\longrightarrow} & TV & \\ \!\!\!\!\! \,\, \, \varphi \downarrow & \partial_i \varphi \searrow & \downarrow T(\varphi) \!\!\!\!\! & \\ U & \stackrel{ }{\longrightarrow} & TU & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und es sei \maabb {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} $T\varphi$ zu \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-3xz^3+y^2,x \sin y -e^{yz}) } {} unter Verwendung der Identifizierungen \mathkor {} {T\R^3 =\R^3 \times \R^3} {und} {T\R^2 =\R^2 \times \R^2} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve
\maabbdisp {\gamma} {[0,1[} { S^1
} {}
derart, dass der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 1 } \, \gamma(t)}{} existiert, dass aber der Grenzwert
\mathl{\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 1 } \, ( \gamma(t), T_t (\gamma ) (1))}{} in
\mathl{TS^1}{} nicht existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.}
Interpretiere die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {TM \longrightarrow T\R^n = \R^n \times \R^n \stackrel{+}{\longrightarrow} \R^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {TS^1} { \R^2
} {( (a,b),t (-b,a))} { (a,b) + t (-b,a)
} {,}
für jeden Punkt
\mathl{(x,y) \in \R^2}{} außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$N$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ TM
}
{ \subseteq }{ TN
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine abgeschlossene Teilmenge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {} derart, dass die zugehörige \definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{} \maabbdisp {T(\varphi)} {TM} {TN } {} nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $S^2$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mathl{S^2}{} bewege sich in einer Sekunde vollständig
\zusatzklammer {vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn} {} {}
um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt
\mathl{P \in S^2}{} gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {} {S^2} {TS^2 \subseteq T\R^3 = \R^6
} {.}
}
{} {}
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
\maabb {p} {TM} {M
} {}
und sei
\maabbdisp {\psi} {Z} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{,}
wobei $Z$ eine Menge bezeichnet. Eine Abbildung
\maabbdisp {F} {Z} {TM
} {}
heißt
\definitionswort {Vektorfeld längs}{}
$\psi$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ F
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{8 (3+3+2)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,u,v) \in \R^4 \mid ux^m+vy^n = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^4$ ist.
b) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {M} {\R^2
} {(x,y,u,v)} {(x,y)
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
c) Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{10 (2+3+5)}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2 } {x} {(x^2,x^3) } {.}
a) Zeige, dass diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} und \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Zeige, dass $\varphi$ nicht in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.
c) Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist, aber keine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} des $\R^2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} des
\definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{}
\mathl{T_{S_1}}{} der
$1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} $S^1$ mit dem
\definitionsverweis {Produkt}{}{} $S^1 \times \R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\pi} {TM} {M
} {}
das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{TM}{} selbst in natürlicher Weise eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines $R$-Moduls verwendet \zusatzklammer {das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes} {} {.}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (M,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \stichwort {additiv} {} geschriebene
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Man nennt $M$ einen
\definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
\zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
auf $M$ und sei $F$ die Menge aller
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
auf $M$.
a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} wird.
b) Definiere eine Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {R \times F} {F } {(f,s)} {fs } {,} derart, dass $F$ zu einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} wird.
}
{} {}