Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass

M = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} ∣ x + x^{2} y + z^{2} + t^{3} = 0}

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{4}$ ist.

Aufgabe

Es sei

f : ℝ ⟶ ℝ_{+}

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Rotationsfläche des Graphen von $f$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{3}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen $n \times n$ -Matrizen mit Determinante $1$ eine $(n^{2} - 1)$ -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{n^{2}}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer abgeschlossenen Teilmenge $M \subseteq ℝ$ , die keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $ℝ$ ist.

Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von $ℝ$ .

Aufgabe

Bestimme die abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten von $S^{1}$ .

Es seien $M$ und $N$ zwei disjunkte abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten des $ℝ^{n}$ . Zeige, dass deren Vereinigung $M \cup N$ ebenfalls eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, und dass diese Aussage ohne die Voraussetzung der Disjunktheit nicht gilt.

Aufgabe

Es sei $f : ℝ^{n} \to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass der Graph $Γ_{f} \subseteq ℝ^{n + 1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{n + 1}$ ist.

Aufgabe *

Es sei $M \neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

M_{0} \subseteq M_{1} \subseteq M_{2} \subseteq \dots \subseteq M_{n - 1} \subseteq M_{n} = M

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_{i}$ die Dimension $i$ besitzt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Menge

N = {A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ∣ A ist nilpotent} \subseteq ℝ^{4}

der reellen nilpotenten $2 \times 2$ -Matrizen sowie die Menge

M = N ∖ {(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})} .

a) Ist $N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass $M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge $G \subseteq ℝ^{4}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von $M$ .

d) Ist $M$ zusammenhängend?

e) Überdecke $M$ mit expliziten topologischen Karten.

Aufgabe

Es sei $M \subseteq ℝ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $P \in M$ ein Punkt. Es sei $T_{P} (i)$ die Tangentialabbildung zur Inklusion

i : M ⟶ ℝ^{n}

und $γ$ ein differenzierbarer Weg in $M$ mit

γ (0) = P .

Zeige, dass in $ℝ^{n} ≅ T_{P} ℝ^{n}$ die Gleichheit

T_{P} (i) ([γ]) = {(i \circ γ)}^{'} (0)

gilt.

Aufgabe

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen, $φ : G \to ℝ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und $M$ die Faser über $0 \in ℝ^{m}$ . Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für $P \in M$ der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

π : T M ⟶ M

das Tangentialbündel. Zeige, dass diese Projektionsabbildung stetig ist.

Aufgabe

Es sei $T M$ das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ . Zeige, dass die Mengen $(T (α))^{- 1} (V \times W)$ zu allen Karten

α : U ⟶ V

mit $V, W \subseteq ℝ^{n}$ offen eine Basis der Topologie auf dem Tangentialbündel bilden.

Aufgabe *

Es sei $W \subseteq ℝ^{n}$ offen, $h : W \to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y = h^{- 1} (c)$ die Faser zu $c \in ℝ$ , wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Realisiere das Tangentialbündel von $Y$ als eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W \times ℝ^{n}$ .

Aufgabe

Es sei $Y \subseteq ℝ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und $φ : V \to U \subseteq Y$ eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge $U \subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge $V \subseteq ℝ^{d}$ , wobei wir $φ$ auch als Abbildung nach $ℝ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

\begin{matrix} V & \overset{\partial_{i}}{⟶} & T V \\ φ ↓ & \partial_{i} φ ↘ & ↓ T (φ) \\ U & \overset{}{⟶} & T U \end{matrix}

vorliegt.

Aufgabe

Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei $φ : M \to N$ eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die zugehörige Tangentialabbildung

T (φ) : T M ⟶ T N

stetig ist.

Aufgabe

Berechne die Tangentialabbildung $T φ$ zu

φ : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}, (x, y, z) ⟼ (x^{2} y - 3 x z^{3} + y^{2}, x \sin y - e^{y z})

unter Verwendung der Identifizierungen

$T ℝ^{3} = ℝ^{3} \times ℝ^{3}$ und $T ℝ^{2} = ℝ^{2} \times ℝ^{2}$ .

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer differenzierbaren Kurve

γ : [0, 1 [⟶ S^{1}

derart, dass der Grenzwert $\lim_{t \to 1} γ (t)$ existiert, dass aber der Grenzwert $\lim_{t \to 1} (γ (t), T_{t} (γ) (1))$ in $T S^{1}$ nicht existiert.

Aufgabe

Es sei $M \subseteq ℝ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Interpretiere die Hintereinanderschaltung

T M ⟶ T ℝ^{n} = ℝ^{n} \times ℝ^{n} \overset{+}{⟶} ℝ^{n} .

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

T S^{1} ⟶ ℝ^{2}, ((a, b), t (- b, a)) ⟼ (a, b) + t (- b, a),

für jeden Punkt $(x, y) \in ℝ^{2}$ außerhalb der Einheitskreisscheibe zwei Urbildpunkte, auf dem Einheitskreis einen Urbildpunkt und innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe keinen Urbildpunkt besitzt. Man interpretiere dies geometrisch.

Aufgabe

Es sei $M \subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren Mannigfaltigkeit $N$ . Zeige, dass $T M \subseteq T N$ eine abgeschlossene Teilmenge ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer injektiven differenzierbaren Abbildung

φ : M ⟶ N

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

T (φ) : T M ⟶ T N

nicht injektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer surjektiven differenzierbaren Abbildung

φ : M ⟶ N

zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ derart, dass die zugehörige Tangentialabbildung

T (φ) : T M ⟶ T N

nicht surjektiv ist.

Aufgabe *

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf $S^{2}$ an, das nur eine Nullstelle besitzt.

Aufgabe

Die Einheitssphäre $S^{2}$ bewege sich in einer Sekunde vollständig (vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt $P \in S^{2}$ gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige Vektorfeld

S^{2} ⟶ T S^{2} \subseteq T ℝ^{3} = ℝ^{6} .

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel $p : T M \to M$ und sei

ψ : Z ⟶ M

eine Abbildung, wobei $Z$ eine Menge bezeichnet. Eine Abbildung

F : Z ⟶ T M

heißt Vektorfeld längs $ψ$ , wenn $p \circ F = ψ$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (8 (3+3+2) Punkte)

Es seien $m, n \in ℕ_{+}$ .

a) Zeige, dass die Menge

M = {(x, y, u, v) \in ℝ^{4} ∣ u x^{m} + v y^{n} = 1}

eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{4}$ ist.

b) Zeige, dass die Abbildung

φ : M ⟶ ℝ^{2}, (x, y, u, v) ⟼ (x, y),

differenzierbar und in jedem Punkt $P \in M$ regulär ist.

c) Beschreibe die Fasern von $φ$ .

Aufgabe (10 (2+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ ⟶ ℝ^{2}, x ⟼ (x^{2}, x^{3}) .

a) Zeige, dass diese Abbildung differenzierbar und injektiv ist.

b) Zeige, dass $φ$ nicht in jedem Punkt regulär ist.

c) Zeige, dass das Bild von $φ$ abgeschlossen in $ℝ^{2}$ ist, aber keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $ℝ^{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es eine Homöomorphie des Tangentialbündels $T_{S^{1}}$ der $1$ -Sphäre $S^{1}$ mit dem Produkt $S^{1} \times ℝ$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

π : T M ⟶ M

das Tangentialbündel. Zeige, dass $T M$ selbst in natürlicher Weise eine topologische Mannigfaltigkeit ist.

In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines $R$ -Moduls verwendet (das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes).

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M = (M, +, 0)$ eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$ -Modul, wenn eine Operation

R \times M ⟶ M, (r, v) ⟼ r v = r \cdot v,

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r, s \in R$ und $u, v \in M$ beliebig):

$r (s u) = (r s) u$ ,
$r (u + v) = (r u) + (r v)$ ,
$(r + s) u = (r u) + (s u)$ ,
$1 u = u$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei $R = C^{1} (M, ℝ)$ der Ring der differenzierbaren Funktionen auf $M$ und sei $F$ die Menge aller Vektorfelder auf $M$ .

a) Definiere eine Addition auf $F$ derart, dass $F$ zu einer kommutativen Gruppe wird.

b) Definiere eine Skalarmultiplikation

R \times F ⟶ F, (f, s) ⟼ f s,

derart, dass $F$ zu einem $R$ -Modul wird.

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