Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {t} { \left\langle f(t) , g(t) \right\rangle } {.} Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {h} {I} {V
} {}
eine zweimal differenzierbare Kurve in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h'(t)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { h'(t)} \Vert'
}
{ =} { { \frac{ \left\langle h'(t) , h^{\prime \prime} (t) \right\rangle }{ \left\langle h'(t) , h'(t) \right\rangle } } \Vert { h'(t)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {t} {f(t) = \left( f_1(t) , \, \ldots , \, f_n(t) \right)
} {,}
heißt
\definitionswort {bogenparametrisiert}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1'(t)^2 + \cdots + f_n'(t)^2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $t$ gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\gamma} {I} {\R^n } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {bogenparametrisierte}{}{} Kurve. Zeige, dass \mathkor {} {\gamma'(t)} {und} {\gamma^{\prime \prime}(t)} {} aufeinander senkrecht stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ {]{-1},1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R^n \mid f \text{ differenzierbar} , \, f(0) = P \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir nennen zwei
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(0)
}
{ =} { g'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{.}
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen \zusatzklammer {also die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \zusatzklammer {überall reguläre} {} {} \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,} die nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ \R^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion, wir betrachten den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
$Y$ zu $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\R^n$ im Sinne von
Beispiel 1.2.
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfelder}{}{}
in diesem Fall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {r} {und} {R} {}
positive reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ r
}
{ < }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
für den
\zusatzklammer {eingebetteten} {} {}
Torus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und sei $Y$ die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\R^n$ im Sinne von Lemma 2.1. Bestimme die \definitionsverweis {Einheitsnormalenfelder}{}{} in diesem Fall.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} auf einer Sphäre im $\R^n$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des $\R^n$ induziert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
$N$ und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld $-N$. Zeige, dass sich die zugehörigen
\definitionsverweis {Gauß-Abbildungen}{}{}
um die
\definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {S^{n-1}} {S^{n-1}
} {P} {-P
} {m}
unterscheiden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x,y)\in\R^2 \mid \alpha x^2+\beta y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
zu $Y$.
} {Man gebe zur Gauß-Abbildung zu $Y$ explizit eine
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
an.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x,y)\in\R^2 \mid \alpha x^2+\beta y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
zu $Y$ bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
surjektiv ist und dass es Punkte auf $S^1$ gibt, die unendlich oft angenommen werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W'
}
{ = }{ L^{-1}(W)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { L^{-1}(Y)
}
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ entsprechen
\zusatzklammer {also mit Hilfe von $L$ ineinander überführt werden können} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das Bild unter der \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R^3 \setminus \{ (0,0,0) \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z)
}
{ =} { x^2+y^2-z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das Bild von $Y$
\zusatzklammer {mit der durch den Gradienten von $h$ gegebenen Orientierung} {} {}
unter der
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta, \gamma
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid \alpha x^2+ \beta y^2 + \gamma z^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
zu $Y$ bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W'
}
{ = }{ L^{-1}(W)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { L^{-1}(Y)
}
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ im Allgemeinen nicht entsprechen
\zusatzklammer {im Gegensatz zu
Aufgabe 2.14,
wo eine Isometrie vorliegt} {} {.}
}
{} {}