Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe *

Es sei ${}h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass bei ${}h'(t)\neq 0$ die Gleichheit

${}\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$

gilt.

Eine differenzierbare Kurve

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto f(t)=\left(f_{1}(t),\,\ldots ,\,f_{n}(t)\right),$

heißt bogenparametrisiert, wenn ${}f_{1}'(t)^{2}+\cdots +f_{n}'(t)^{2}=1$ für alle ${}t$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Zeige, dass ${}\gamma '(t)$ und ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ aufeinander senkrecht stehen.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und sei ${}I={]{-1},1[}$. Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.$

Wir nennen zwei Kurven ${}f,g\in M$ tangential äquivalent, wenn

${}f'(0)=g'(0)\,$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine (überall reguläre) differenzierbare Hyperfläche, die nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion, wir betrachten den Graphen ${}Y$ zu ${}f$ als differenzierbare Hyperfläche in ${}\mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Beispiel 1.2. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.

Aufgabe *

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$. Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion und sei ${}Y$ die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von ${}f$ als differenzierbare Hyperfläche in ${}\mathbb {R} ^{n}$ im Sinne von Lemma 2.1. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.

Aufgabe

Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?

Aufgabe

Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Sphäre im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ induziert wird.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine differenzierbare Hyperfläche mit dem Einheitsnormalenfeld ${}N$ und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld ${}-N$. Zeige, dass sich die zugehörigen Gauß-Abbildungen um die Antipodenabbildung

$S^{n-1}\longrightarrow S^{n-1},\,P\longmapsto -Pm$

unterscheiden.

Aufgabe *

Es seien ${}\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei

${}Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$

1. Bestimme die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.
2. Man gebe zur Gauß-Abbildung zu ${}Y$ explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe *

Es seien ${}\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei

${}Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$

Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu ${}Y$ bijektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Gauß-Abbildung surjektiv ist und dass es Punkte auf ${}S^{1}$ gibt, die unendlich oft angenommen werden.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie, ${}W'=L^{-1}(W)$ und

${}Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$

Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf ${}Y$ und auf ${}Z$ entsprechen (also mit Hilfe von ${}L$ ineinander überführt werden können).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild unter der Gauß-Abbildung zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ und sei ${}Y\subseteq W$ die Nullstellenmenge zu

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}\,.$

Bestimme das Bild von ${}Y$ (mit der durch den Gradienten von ${}h$ gegebenen Orientierung) unter der Gauß-Abbildung.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} _{+}$ und sei

${}Y={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}=1\right\}}\,.$

Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu ${}Y$ bijektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isomorphie, ${}W'=L^{-1}(W)$ und

${}Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$

Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf ${}Y$ und auf ${}Z$ im Allgemeinen nicht entsprechen (im Gegensatz zu Aufgabe 2.14, wo eine Isometrie vorliegt).