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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Es seien

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.



Es sei eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass bei die Gleichheit

gilt.


Eine differenzierbare Kurve

heißt bogenparametrisiert, wenn für alle gilt.



Es sei eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Zeige, dass und aufeinander senkrecht stehen.



Es sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge

Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).



Man gebe ein Beispiel für eine (überall reguläre) differenzierbare Hyperfläche, die nicht zusammenhängend ist.



Es sei eine offene Menge und sei

eine stetig differenzierbare Funktion, wir betrachten den Graphen zu als differenzierbare Hyperfläche in im Sinne von Beispiel 1.2. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.



Es seien und positive reelle Zahlen mit . Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus



Es sei

eine differenzierbare Funktion und sei die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von als differenzierbare Hyperfläche in im Sinne von Lemma 2.1. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.



Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?



Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Sphäre im mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des induziert wird.



Es sei eine differenzierbare Hyperfläche mit dem Einheitsnormalenfeld und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld . Zeige, dass sich die zugehörigen Gauß-Abbildungen um die Antipodenabbildung

unterscheiden.



Es seien und sei

  1. Bestimme die Gauß-Abbildung zu .
  2. Man gebe zur Gauß-Abbildung zu explizit eine Umkehrabbildung an.



Es seien und sei

Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu bijektiv ist.



Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Hyperfläche derart, dass die Gauß-Abbildung surjektiv ist und dass es Punkte auf gibt, die unendlich oft angenommen werden.



Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

eine lineare Isometrie, und

Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf und auf entsprechen (also mit Hilfe von ineinander überführt werden können).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild unter der Gauß-Abbildung zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und sei die Nullstellenmenge zu

Bestimme das Bild von (mit der durch den Gradienten von gegebenen Orientierung) unter der Gauß-Abbildung.



Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und sei

Zeige, dass die Gauß-Abbildung zu bijektiv ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

eine lineare Isomorphie, und

Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf und auf im Allgemeinen nicht entsprechen (im Gegensatz zu Aufgabe 2.14, wo eine Isometrie vorliegt).




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