Funktion/n-1 Variablen/Graph als Hyperfläche/Tangentialraum/Beispiel

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von ${}f$ ist

${}Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$

die man auch als Nullstellengebilde (Faser über ${}0$) von

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,$

auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von ${}h$ sind

$-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}},1.$

Insbesondere ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum an ${}Y$ in einem Punkt ${}P\in Y$ steht senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}(P)\\1\end{pmatrix}}$. Jede parametrisierte Grundgerade ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ wird zur parametrisierten Kurve

$I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

auf ${}Y$, deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu

${}v=e_{i}\,$

mit ${}\gamma _{i}$ bezeichnet, so ist

${}\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

nach Fakt.