Es sei
eine
offene Menge
und sei
-
eine
stetig differenzierbare
Funktion. Der
Graph
von
ist
-
![{\displaystyle {}Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096dee174b4e19eeda73377acbb9882ac07e87bf)
die man auch als Nullstellengebilde
(Faser über
)
von
-
![{\displaystyle {}h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0b459c173c3a1c703626d9677de98951753a16)
auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von
sind
-
Insbesondere ist
in jedem Punkt von
regulär.
Der
Tangentialraum
an
in einem Punkt
steht senkrecht auf
. Jede parametrisierte Grundgerade
wird zur parametrisierten Kurve
-
auf
, deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu
-
![{\displaystyle {}v=e_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c7849b46da11649125a56229f9b4460aeba6f5)
mit
bezeichnet, so ist
-
![{\displaystyle {}\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b65dd3bff4f71a0563988121d923d0b90cb338)
und
-
![{\displaystyle {}\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1460122a7a1aa84aa8163fafe133bc715e2112)
nach
Fakt.