Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4/latex

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\setcounter{section}{4}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x_1 , \ldots , x_n) }
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_ix_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} $\neq 0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} die Nullabbildung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 = z^2 , \, \left( x , \, y , \, z \right) \neq \left( 0 , \, 0 , \, 0 \right) \right\} } }
{ \subseteq} { W }
{ =} { \R^3 \setminus \{ \left( 0 , \, 0 , \, 0 \right) \} }
{ } { }
} {}{}{} der sogenannte Standardkegel und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \left( x , \, y , \, z \right) }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ =} { \left( x \cos t , \, y \sin t , \, z \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ N( \gamma(t) ) - N( \gamma(0) ) }{ t } }} { , }
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-z^2$ sei.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 =1 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der sogenannte Standardzylinder und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, z \right) }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ =} { \left( \cos t , \, \sin t , \, z \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ N( \gamma(t) ) - N( \gamma(0) ) }{ t } }} { , }
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-1$ sei.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 =1 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {differenzierbare Fläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalten kann, die, aufgefasst im \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} $T_PY$ für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} nicht zum \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ gehören muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung $\tilde{h}$ auf
\mathl{W \times \R^m}{} auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in $\tilde{h}$ eingehen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { \tilde{h}^{-1}(c) }
{ =} { Y \times \R^m }
{ \subseteq} { W \times \R^{m} }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} In welcher Beziehung stehen die \definitionsverweis {Weingartenabbildungen}{}{} \mathkor {} {L_Q} {und} {L_P} {?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{ Eingebetteter Torus/Weingartenabbildung/Aufgabe }
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { xy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ für jeden Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { (x,y,f(x,y) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Es sei \maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W' }
{ = }{ L^{-1}(W) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { L^{-1}(Y) }
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sich die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Weingartenabbildung zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ = }{ L^{-1}(P) }
{ \in }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} entsprechen, wenn man mit Hilfe von $L$ die Tangentialräume $T_PY$ und $T_QZ$ miteinander in Beziehung setzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+2z^2 }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Diagonalmatrix für die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Wie ändert sich die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} und wie die zugehörigen \definitionsverweis {Eigenräume}{}{,} wenn man von einer \definitionsverweis {Orientierung}{}{} von $Y$ zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme in Beispiel 4.5 die beschreibende Matrix für die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} für Punkte der Form
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\y\\ z \end{pmatrix}}{} bezüglich der Basis \mathkor {} {\begin{pmatrix} y \\0\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\z\\ y \end{pmatrix}} {} des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+2y^2+5z^2 }
{ =} { 11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 2 , \, 1 , \, 1 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Diagonalmatrix für die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+2y^2+3z^2+4w^2 }
{ =} { 10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 , \, 1 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix für die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} des \definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{} $T_PY$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3y^5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$ für die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 }
{ = }{ (0,0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2 }
{ = }{ (0,1,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_3 }
{ = }{ (2,1,8) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.

}
{} {}