Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_ix_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
$\neq 0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
die Nullabbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 = z^2 , \, \left( x , \, y , \, z \right) \neq \left( 0 , \, 0 , \, 0 \right) \right\} }
}
{ \subseteq} { W
}
{ =} { \R^3 \setminus \{ \left( 0 , \, 0 , \, 0 \right) \}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der sogenannte Standardkegel und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \left( x , \, y , \, z \right)
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ =} { \left( x \cos t , \, y \sin t , \, z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ N( \gamma(t) ) - N( \gamma(0) ) }{ t } }} { , }
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-z^2$ sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 =1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der sogenannte Standardzylinder und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, z \right)
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ =} { \left( \cos t , \, \sin t , \, z \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ N( \gamma(t) ) - N( \gamma(0) ) }{ t } }} { , }
wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-1$ sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y
}
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y , \, z \right) \mid x^2+y^2 =1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {differenzierbare Fläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalten kann, die, aufgefasst im
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
$T_PY$ für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
nicht zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ gehören muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung $\tilde{h}$ auf
\mathl{W \times \R^m}{} auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in $\tilde{h}$ eingehen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { \tilde{h}^{-1}(c)
}
{ =} { Y \times \R^m
}
{ \subseteq} { W \times \R^{m}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In welcher Beziehung stehen die
\definitionsverweis {Weingartenabbildungen}{}{}
\mathkor {} {L_Q} {und} {L_P} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eingebetteter Torus/Weingartenabbildung/Aufgabe
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { xy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ für jeden Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (x,y,f(x,y) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W'
}
{ = }{ L^{-1}(W)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z
}
{ =} { L^{-1}(Y)
}
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sich die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Weingartenabbildung zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ L^{-1}(P)
}
{ \in }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entsprechen, wenn man mit Hilfe von $L$ die Tangentialräume $T_PY$ und $T_QZ$ miteinander in Beziehung setzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+2z^2
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 \right)
}
{ \in} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Diagonalmatrix für die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wie ändert sich die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
und wie die zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{,}
wenn man von einer
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
von $Y$ zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme in
Beispiel 4.5
die beschreibende Matrix für die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
für Punkte der Form
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\y\\ z \end{pmatrix}}{} bezüglich der Basis
\mathkor {} {\begin{pmatrix} y \\0\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\z\\ y \end{pmatrix}} {}
des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+2y^2+5z^2
}
{ =} { 11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( 2 , \, 1 , \, 1 \right)
}
{ \in} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Diagonalmatrix für die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+2y^2+3z^2+4w^2
}
{ =} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 , \, 1 \right)
}
{ \in} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix für die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
$T_PY$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x^3y^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ für die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1
}
{ = }{ (0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2
}
{ = }{ (0,1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_3
}
{ = }{ (2,1,8)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.
}
{} {}