Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei  $h(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$  eine Linearform $\ne 0$ und  $Y=h^{-1}(c)$  die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die Weingartenabbildung die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Es sei

$Y=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=z^2,(x,y,z)\ne (0,0,0)\}\subseteq W={ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}$

der sogenannte Standardkegel und sei  $P=(x,y,z)\in Y$.  Es sei

$\gamma (t)=(x\cos t,y\sin t,z).$

Bestimme

${\lim }_{t\to 0}\frac{N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t},$

wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-z^2$ sei.

Aufgabe

Es sei

$Y=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}\subseteq {ℝ}^3$

der sogenannte Standardzylinder und sei  $P=(1,0,z)\in Y$.  Es sei

$\gamma (t)=(\cos t,\sin t,z).$

Bestimme

${\lim }_{t\to 0}\frac{N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t},$

wobei $N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von $x^2+y^2-1$ sei.

Aufgabe

Es sei

$Y=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}\subseteq {ℝ}^3$

und sei  $P\in Y$  ein Punkt. Zeige, dass die Weingartenabbildung $L_P$ nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Fläche  $Y\subseteq {ℝ}^3$  eine Gerade  $G\subseteq Y$  enthalten kann, die, aufgefasst im Tangentialraum $T_{P}Y$ für einen Punkt  $P\in G$,  nicht zum Kern der Weingartenabbildung $L_P$ gehören muss.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wir fassen $h$ auch als eine Abbildung $\tilde{h}$ auf $W\times {ℝ}^m$ auf, wobei die hinteren $m$ Variablen nicht explizit in $\tilde{h}$ eingehen. Es sei

$Z={\tilde{h}}^{-1}(c)=Y\times {ℝ}^m\subseteq W\times {ℝ}^m.$

Es sei  $Q\in Z$  ein Punkt über  $P\in Y$.  In welcher Beziehung stehen die Weingartenabbildungen $L_Q$ und $L_P$?

Aufgabe *

Es seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit  $0<r<R$,  wir betrachten den (eingebetteten) Torus

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid {(\sqrt{x^2+y^2}-R)}^2+z^2=r^2\}.$

1. Bestimme ein Einheitsnormalenfeld $N$ zu $T$.
2. Bestimme im Punkt $(R-r,0,0)$ und für den Vektor  $v=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$  die Richtungsableitung $D_{v}N$.
3. Bestimme im Punkt $(R-r,0,0)$ und für den Vektor  $w=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$  die Richtungsableitung $D_{w}N$.

Aufgabe

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion

$f(x,y)=xy$

die Weingartenabbildung $L_P$ für jeden Punkt

$P=(x,y,f(x,y)).$

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei

$L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine lineare Isometrie,  $W^{\prime }=L^{-1}(W)$  und

$Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L{)}^{-1}(c).$

Zeige, dass sich die Weingartenabbildung $L_P$ zu  $P\in Y$  und die Weingartenabbildung zu  $Q=L^{-1}(P)\in Z$  entsprechen, wenn man mithilfe von $L$ die Tangentialräume $T_{P}Y$ und $T_{Q}Z$ miteinander in Beziehung setzt.

Aufgabe *

Bestimme für die durch

$x^2+y^2+2z^2=4$

gegebene Fläche $Y$ und den Punkt

$P=(1,1,1)\in Y$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung $L_P$.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Wie ändert sich die Weingartenabbildung und wie die zugehörigen Eigenräume, wenn man von einer Orientierung von $Y$ zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in Beispiel 4.5 die beschreibende Matrix für die Weingartenabbildung für Punkte der Form $\left(\begin{array}{c}0\\ y\\ z\end{array}\right)$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}y\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ z\\ y\end{array}\right)$ des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die durch

$x^2+2y^2+5z^2=11$

gegebene Fläche $Y$ und den Punkt

$P=(2,1,1)\in Y$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung $L_P$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die durch

$x^2+2y^2+3z^2+4w^2=10$

gegebene Hyperfläche  $Y\subseteq {ℝ}^4$  und den Punkt

$P=(1,1,1,1)\in Y$

eine Matrix für die Weingartenabbildung $L_P$ bezüglich einer geeigneten Basis des Tangentialraumes $T_{P}Y$.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für den Graphen $Y$ der Funktion

$f(x,y)=x^3{y}^5$

die Weingartenabbildung $L_P$ für die Punkte  $P_1=(0,0,0)$,   $P_2=(0,1,0)$,   $P_3=(2,1,8)$.  Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für $L_P$.