Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ eine Linearform ${}\neq 0$ und ${}Y=h^{-1}(c)$ die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die Weingartenabbildung die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Es sei

${}Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=z^{2},\,\left(x,\,y,\,z\right)\neq \left(0,\,0,\,0\right)\right\}}\subseteq W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\left(0,\,0,\,0\right)\}\,$

der sogenannte Standardkegel und sei ${}P=\left(x,\,y,\,z\right)\in Y$. Es sei

${}\gamma (t)=\left(x\cos t,\,y\sin t,\,z\right)\,.$

Bestimme

$\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t}},$

wobei ${}N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von ${}x^{2}+y^{2}-z^{2}$ sei.

Aufgabe

Es sei

${}Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

der sogenannte Standardzylinder und sei ${}P=\left(1,\,0,\,z\right)\in Y$. Es sei

${}\gamma (t)=\left(\cos t,\,\sin t,\,z\right)\,.$

Bestimme

$\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {N(\gamma (t))-N(\gamma (0))}{t}},$

wobei ${}N$ das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von ${}x^{2}+y^{2}-1$ sei.

Aufgabe

Es sei

${}Y={\left\{\left(x,\,y,\,z\right)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und sei ${}P\in Y$ ein Punkt. Zeige, dass die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Fläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine Gerade ${}G\subseteq Y$ enthalten kann, die, aufgefasst im Tangentialraum ${}T_{P}Y$ für einen Punkt ${}P\in G$, nicht zum Kern der Weingartenabbildung ${}L_{P}$ gehören muss.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir fassen ${}h$ auch als eine Abbildung ${}{\tilde {h}}$ auf ${}W\times \mathbb {R} ^{m}$ auf, wobei die hinteren ${}m$ Variablen nicht explizit in ${}{\tilde {h}}$ eingehen. Es sei

${}Z={\tilde {h}}^{-1}(c)=Y\times \mathbb {R} ^{m}\subseteq W\times \mathbb {R} ^{m}\,.$

Es sei ${}Q\in Z$ ein Punkt über ${}P\in Y$. In welcher Beziehung stehen die Weingartenabbildungen ${}L_{Q}$ und ${}L_{P}$?

Aufgabe

Eingebetteter Torus/Weingartenabbildung/Aufgabe

Aufgabe

Bestimme für den Graphen ${}Y$ der Funktion

${}f(x,y)=xy\,$

die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ für jeden Punkt

${}P=(x,y,f(x,y))\,.$

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für ${}L_{P}$.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie, ${}W'=L^{-1}(W)$ und

${}Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$

Zeige, dass sich die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ zu ${}P\in Y$ und die Weingartenabbildung zu ${}Q=L^{-1}(P)\in Z$ entsprechen, wenn man mit Hilfe von ${}L$ die Tangentialräume ${}T_{P}Y$ und ${}T_{Q}Z$ miteinander in Beziehung setzt.

Aufgabe *

Bestimme für die durch

${}x^{2}+y^{2}+2z^{2}=4\,$

gegebene Fläche ${}Y$ und den Punkt

${}P=\left(1,\,1,\,1\right)\in Y\,$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung ${}L_{P}$.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wie ändert sich die Weingartenabbildung und wie die zugehörigen Eigenräume, wenn man von einer Orientierung von ${}Y$ zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in Beispiel 4.5 die beschreibende Matrix für die Weingartenabbildung für Punkte der Form ${}{\begin{pmatrix}0\\y\\z\end{pmatrix}}$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}y\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die durch

${}x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=11\,$

gegebene Fläche ${}Y$ und den Punkt

${}P=\left(2,\,1,\,1\right)\in Y\,$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung ${}L_{P}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die durch

${}x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+4w^{2}=10\,$

gegebene Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ und den Punkt

${}P=\left(1,\,1,\,1,\,1\right)\in Y\,$

eine Matrix für die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ bezüglich einer geeigneten Basis des Tangentialraumes ${}T_{P}Y$.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für den Graphen ${}Y$ der Funktion

${}f(x,y)=x^{3}y^{5}\,$

die Weingartenabbildung ${}L_{P}$ für die Punkte ${}P_{1}=(0,0,0)$, ${}P_{2}=(0,1,0)$, ${}P_{3}=(2,1,8)$. Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für ${}L_{P}$.