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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Linearform und die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die Weingartenabbildung die Nullabbildung ist.


Aufgabe

Es sei

der sogenannte Standardkegel und sei . Es sei

Bestimme

wobei das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von sei.


Aufgabe

Es sei

der sogenannte Standardzylinder und sei . Es sei

Bestimme

wobei das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von sei.


Aufgabe

Es sei

und sei ein Punkt. Zeige, dass die Weingartenabbildung nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine differenzierbare Fläche eine Gerade enthalten kann, die, aufgefasst im Tangentialraum für einen Punkt , nicht zum Kern der Weingartenabbildung gehören muss.


Aufgabe

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Wir fassen auch als eine Abbildung auf auf, wobei die hinteren Variablen nicht explizit in eingehen. Es sei

Es sei ein Punkt über . In welcher Beziehung stehen die Weingartenabbildungen und ?


Aufgabe

Eingebetteter Torus/Weingartenabbildung/Aufgabe


Aufgabe

Bestimme für den Graphen der Funktion

die Weingartenabbildung für jeden Punkt

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für .


Aufgabe

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

eine lineare Isometrie, und

Zeige, dass sich die Weingartenabbildung zu und die Weingartenabbildung zu entsprechen, wenn man mit Hilfe von die Tangentialräume und miteinander in Beziehung setzt.


Aufgabe *

Bestimme für die durch

gegebene Fläche und den Punkt

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .


Aufgabe

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Wie ändert sich die Weingartenabbildung und wie die zugehörigen Eigenräume, wenn man von einer Orientierung von zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in Beispiel 4.5 die beschreibende Matrix für die Weingartenabbildung für Punkte der Form bezüglich der Basis und des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme für die durch

gegebene Fläche und den Punkt

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die durch

gegebene Hyperfläche und den Punkt

eine Matrix für die Weingartenabbildung bezüglich einer geeigneten Basis des Tangentialraumes .


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für den Graphen der Funktion

die Weingartenabbildung für die Punkte , , . Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für .




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