Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Rotationsflächen}
Wir besprechen eine weitere Klasse von Flächen im Raum, die Rotationsflächen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral apl rot obsah1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Integral apl rot obsah1.svg } {} {Pajs} {Tschechische Wikipedia} {gemeinfrei} {}
Es sei eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {\gamma} {]a,b[} {\R^2
} {t} {(x(t),y(t))
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{,}
also die Teilmenge
\mathdisp {{ \left\{ (x(t), y(t) \cos \alpha , y(t) \sin \alpha) \mid t \in [a,b] , \, \alpha \in [0,2\pi] \right\} }} { }
des
\mathl{\R^3}{,} die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die $x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass $\gamma$ einen Homöomorphismus auf sein Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \gamma { \left( ]a,b[ \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewirkt. Insbesondere betrachten wir den Fall, wo
\maabb {f} {]a,b[} { \R_+
} {}
eine differenzierbare Funktion ist und es um die Rotationsfläche des Graphen geht.
\inputfaktbeweis
{Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Tangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {I} { \R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann besitzt die
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{}
$Y$
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {}
zum
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $f$ folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist $Y$ die Nullstellenmenge zu
\maabbeledisp {h} {I \times \R \times \R} {\R
} { \left( x , \, y , \, z \right) } { y^2+z^2-f(x)^2
} {.}
}{Die beschreibende Funktion $h$ ist in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
von $Y$ in einem Punkt
\mathl{\left( x , \, y , \, z \right)}{} ist
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_PY
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} 0 \\z\\ -y \end{pmatrix} + \R\begin{pmatrix} z \\0\\ f(x)f'(x) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) ist klar. Die
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
von $h$ ist
\mathl{2 \left( -f(x)f'(x) , \, y , \, z \right)}{.} Wegen der Positivität von $f$ kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht sein, daher ist $h$ auf $Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
und gehören zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Jacobimatrix.
\inputfaktbeweis
{Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {I} { \R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
und es sei $Y$ die
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{}
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {}
zum
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $f$. Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {J} {I
} {t} { \gamma(t)
} {,}
eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass
\mathl{\left( \gamma(t) , \, f(\gamma(t)) \right)}{}
ein Parametrisierung des Graphen zu $f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( x , \, y , \, z \right)
}
{ = }{\left( x , \, f(x) \cos \alpha , \, f(x) \sin \alpha \right)
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\maabbeledisp {\theta} {J} {Y
} {t} { \left( \gamma(t) , \, f( \gamma(t) ) \cos \alpha , \, f( \gamma(t) ) \sin \alpha \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Geodätische}{}{.}
} {Eine Kreiskurve
\maabbeledisp {\theta} {\R} {I \times \R^2
} {\alpha} { \left( x , \, f( x ) \cos \alpha , \, f(x ) \sin \alpha \right)
} {,}
ist genau dann eine Geodätische, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die Kurve $\theta$ bewegt sich in der Ebene
\mathl{\R \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix} + \R \begin{pmatrix} 0 \\ \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}}{.} Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von $f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \theta'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \gamma'(t) \\f'(\gamma(t)) \gamma'(t) \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Aufgabe 2.3
senkrecht auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \theta^{\prime \prime} (t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \gamma^{\prime \prime} (t) \\f'(\gamma(t)) \gamma^{\prime \prime} (t) +f^{\prime \prime}(\gamma(t)) { \left( \gamma^{\prime } (t) \right) }^2 \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum
\zusatzklammer {der neben der Kurvenableitung von $\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}$ erzeugt wird} {} {}
steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich $0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.
} {Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte $x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung
\zusatzklammer {nach $\alpha$} {} {}
der gegebenen Kurve ist $f(x) \begin{pmatrix} 0 \\ - \sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich $- f(x) \begin{pmatrix} 0 \\ \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch $\begin{pmatrix} 1 \\f'(x)\\ 0 \end{pmatrix}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets senkrecht auf der Beschleunigung.
}
\zwischenueberschrift{Das Normalenfeld}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Ein auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiertes
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabb {F} {U} {\R^n
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(P)
}
{ \in} { N_PY
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {Normalenfeld}{}
auf $Y$.
}
Wenn dabei zusätzlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {N(P)} \Vert
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, so spricht man von einem \stichwort {Einheitsnormalenfeld} {.} Da die Normalengerade im betrachtenten Hyperflächenfall eindimensional ist, gibt es für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur zwei mögliche Werte für ein Einheitsnormalenfeld an diesem Punkt, die zueinander negativ sind. Dabei interessiert man sich hauptsächlich nur für die Werte des Feldes auf $Y$, man betrachtet also zwei Normalenfelder zu $Y$ als identisch, wenn sie auf $Y$ übereinstimmen. Die offene Umgebung ist nur nötig, um von differenzierbar sprechen zu können.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Glatt/Normalenfeld/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{ \frac{
\operatorname{Grad} \, h }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h } \Vert } }}{} ein
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
auf $Y$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung ist das
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
$\operatorname{Grad} \, h$ nullstellenfrei auf $Y$ und daher wegen der vorausgesetzten Stetigkeit auch nullstellenfrei in einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das angegebene Vektorfeld ist also in einer offenen Umgebung von $Y$ definiert. Die Orthogonalität zu den Tangentialräumen an die Faser und die Normiertheit sind klar.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hyperboloid1.png} }
\end{center}
\bildtext {Ein \stichwort {einschaliges Hyperboloid} {.}} }
\bildlizenz { Hyperboloid1.png } {} {RokerHRO} {Commons} {gemeinfrei} {}
Wir betrachten die Funktion
\maabbele {h} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x^2+y^2-z^2-1
} {}
und dazu die Faser über $0$, also das \stichwort {einschalige Hyperboloid} {} $Y$. Der
\definitionsverweis {Gradient}{}{}
zu $h$ in einem Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} ist durch
\mathl{\begin{pmatrix} 2x \\2y\\ -2z \end{pmatrix}}{}
und das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
ist entsprechend durch
\mathl{\left( 2x , \, 2y , \, -2z \right)}{} gegeben, daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist
\mathl{\begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z \\0\\ x \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss man den zweiten Vektor durch $\begin{pmatrix} 0 \\z\\ y \end{pmatrix}$ ersetzen} {} {.}
Das
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N( \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} )
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Grad} \, h(x,y,z) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h(x,y,z)} \Vert } }
}
{ =} { { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } } \begin{pmatrix} x \\y\\ -z \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Dann nennt man die Fixierung eines
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeldes}{}{}
auf $Y$ eine
\definitionswort {Orientierung}{}
von $Y$.
}
Zu einer Orientierung gibt es stets die negative oder die entgegengesetzte Orientierung. Wenn eine beschreibende Funktion $h$ für $Y$ fixiert ist, so erhält man mit
Lemma 2.4
direkt die Orientierung
\mathl{{ \frac{
\operatorname{Grad} \, h }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h} \Vert } }}{.} Allerdings gehört zu $-h$ die entgegengesetzte Orientierung, und es gibt keine kanonische Möglichkeit, eine davon auszuwählen. Bei einem nullstellenfreien Normalenfeld kann man stets zum zugehörigen Einheitsnormalenfeld übergehen und erhält somit eine Orientierung.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Glatt/Zusammenhängend/Orientierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei $Y$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau zwei
\definitionsverweis {Orientierungen}{}{}
auf $Y$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 2.4
gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir $G$ bzw. $-G$. Es sei nun
\maabbdisp {N} {Y} { \R^n
} {}
ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y_1
}
{ =} { { \left\{ P \in Y \mid N(P) = G(P) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y_2
}
{ =} { { \left\{ P \in Y \mid N(P) = - G(P) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da es für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur die beiden möglichen Werte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(P)
}
{ =} { \pm G(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, ist $Y$ die disjunkte Vereinigung von
\mathkor {} {Y_1} {und} {Y_2} {.}
Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind
\mathkor {} {Y_1} {und} {Y_2} {}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
\zusatzklammer {und damit auch
\definitionsverweis {offen}{}{}
in $Y$} {} {.}
Aufgrund des Zusammenhangs ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ Y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ Y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Die Gauß-Abbildung}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei eine
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung
\maabbdisp {} {Y} { S^{n-1}
} {,}
die jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die
\definitionswort {Gauß-Abbildung}{}
zu $Y$.
}
Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der \anfuehrung{neutralen}{} $n-1$- dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Glatt/Gauß-Abbildung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei eine
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $Y$ fixiert.}
\faktuebergang {Dann gelten für die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Gauß-Abbildung ist
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ S^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Gauß-Abbildung
\zusatzklammer {wenn die Orientierung nach außen zeigt} {} {}
die Identität oder die antipodale Abbildung.
}{Wenn $Y$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
}{Sei $Y$ zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn $Y$ ein offener Ausschnitt aus einem
\definitionsverweis {affin-linearen Unterraum}{}{}
der Dimension $n-1$ ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Dies folgt aus
Lemma 2.4.
}{Klar.
}{Klar.
}{Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ =} { g(P) v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion
\maabb {g} {Y} {\R
} {.}
Wir können $h$ durch
\mathl{{ \frac{ h }{ \Vert {h} \Vert } }}{} ersetzen ohne $Y$ zu verändern. Dann ist nach
Lemma 2.7
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ =} { \pm v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { \pm \sum_{ i = 1}^n a_ix_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Faser zu $h$ auf ganz $\R^n$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.}
Wir erinnern an den folgenden Satz.
\inputfakt{Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ f^{-1}(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $f$ zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist jeder
\mathl{(n-1)}{-}dimensionale Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subset }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für mindestens einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_aM}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Glatt und kompakt/Gauß-Abbildung surjektiv/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {h} {W} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $h$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und in jedem Punkt
\definitionsverweis {regulär}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {Y} { S^{n-1}
} {}
surjektiv.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Satz 2.10 zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von $Y$ auftritt. Der Beweis von Satz 2.10 zeigt aber ferner \zusatzklammer {wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet} {} {,} dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.