Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 2

Rotationsflächen

Wir besprechen eine weitere Klasse von Flächen im Raum, die Rotationsflächen.

Es sei eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die ${}x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass ${}\gamma$ einen Homöomorphismus auf sein Bild ${}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}$ bewirkt. Insbesondere betrachten wir den Fall, wo ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion ist und es um die Rotationsfläche des Graphen geht.

Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche ${}Y$ (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}Y$ die Nullstellenmenge zu

   $h\colon I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y^{2}+z^{2}-f(x)^{2}.$

2. Die beschreibende Funktion ${}h$ ist in jedem Punkt von ${}Y$ regulär.
3. Der Tangentialraum von ${}Y$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist (bei ${}z\neq 0$)

   ${}T_{P}Y=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\z\\-y\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}z\\0\\f(x)f'(x)\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

(1) ist klar. Die Jacobimatrix von ${}h$ ist ${}2\left(-f(x)f'(x),\,y,\,z\right)$. Wegen der Positivität von ${}f$ kann ${}y=z=0$ nicht sein, daher ist ${}h$ auf ${}Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei ${}z\neq 0$ linear unabhängig und gehören zum Kern der Jacobimatrix.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}Y$ die Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$. Es sei

$\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$

eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass ${}\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen zu ${}f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)=\left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right)\in Y$ ist

   $\theta \colon J\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\cos \alpha ,\,f(\gamma (t))\sin \alpha \right),$

   eine Geodätische.

2. Eine Kreiskurve

   $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{2},\,\alpha \longmapsto \left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right),$

   ist genau dann eine Geodätische, wenn ${}f'(x)=0$ ist.

Beweis

1. Die Kurve ${}\theta$ bewegt sich in der Ebene ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung ${}\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von ${}f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht

   ${}\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$

   nach Aufgabe 2.3 senkrecht auf

   ${}\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich ${}0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.

2. Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte ${}x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach ${}\alpha$) der gegebenen Kurve ist ${}f(x){\begin{pmatrix}0\\-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich ${}-f(x){\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei ${}f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.

$\Box$

Das Normalenfeld

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiertes stetiges Vektorfeld ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit

${}F(P)\in N_{P}Y\,$

für alle ${}P\in Y$ heißt Normalenfeld auf ${}Y$.

Wenn dabei zusätzlich

${}\Vert {N(P)}\Vert =1\,$

gilt, so spricht man von einem Einheitsnormalenfeld. Da die Normalengerade im betrachtenten Hyperflächenfall eindimensional ist, gibt es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur zwei mögliche Werte für ein Einheitsnormalenfeld an diesem Punkt, die zueinander negativ sind. Dabei interessiert man sich hauptsächlich nur für die Werte des Feldes auf ${}Y$, man betrachtet also zwei Normalenfelder zu ${}Y$ als identisch, wenn sie auf ${}Y$ übereinstimmen. Die offene Umgebung ist nur nötig, um von differenzierbar sprechen zu können.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei.

Dann ist ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$ ein Einheitsnormalenfeld auf ${}Y$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist das Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,h$ nullstellenfrei auf ${}Y$ und daher wegen der vorausgesetzten Stetigkeit auch nullstellenfrei in einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Das angegebene Vektorfeld ist also in einer offenen Umgebung von ${}Y$ definiert. Die Orthogonalität zu den Tangentialräumen an die Faser und die Normiertheit sind klar.

$\Box$

Beispiel

Ein einschaliges Hyperboloid.

Wir betrachten die Funktion ${}h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}-1$ und dazu die Faser über ${}0$, also das einschalige Hyperboloid ${}Y$. Der Gradient zu ${}h$ in einem Punkt ${}(x,y,z)$ ist durch ${}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}}$ und das totale Differential ist entsprechend durch ${}\left(2x,\,2y,\,-2z\right)$ gegeben, daher ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ (bei ${}x=0$ muss man den zweiten Vektor durch ${}{\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist

${}{\begin{aligned}N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})&={\frac {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}\Vert }}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Dann nennt man die Fixierung eines Einheitsnormalenfeldes auf ${}Y$ eine Orientierung von ${}Y$.

Zu einer Orientierung gibt es stets die negative oder die entgegengesetzte Orientierung. Wenn eine beschreibende Funktion ${}h$ für ${}Y$ fixiert ist, so erhält man mit Lemma 2.4 direkt die Orientierung ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}$. Allerdings gehört zu ${}-h$ die entgegengesetzte Orientierung, und es gibt keine kanonische Möglichkeit, eine davon auszuwählen. Bei einem nullstellenfreien Normalenfeld kann man stets zum zugehörigen Einheitsnormalenfeld übergehen und erhält somit eine Orientierung.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y$ zusammenhängend.

Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf ${}Y$.

Beweis

Nach Lemma 2.4 gibt es ein Einheitsnormalenfeld, das eine Orientierung repräsentiert, und die Negation davon liefert eine weitere Orientierung. Diese nennen wir ${}G$ bzw. ${}-G$. Es sei nun

$N\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein beliebiges stetiges Einheitsnormalenfeld. Wir betrachten die Übereinstimmungsorte

${}Y_{1}={\left\{P\in Y\mid N(P)=G(P)\right\}}\,$

und

${}Y_{2}={\left\{P\in Y\mid N(P)=-G(P)\right\}}\,.$

Da es für jeden Punkt ${}P\in Y$ nur die beiden möglichen Werte

${}N(P)=\pm G(P)\,$

gibt, ist ${}Y$ die disjunkte Vereinigung von ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$. Als Übereinstimmungsort von stetigen Funktionen sind ${}Y_{1}$ und ${}Y_{2}$ abgeschlossen (und damit auch offen in ${}Y$). Aufgrund des Zusammenhangs ist also ${}Y=Y_{1}$ oder ${}Y=Y_{2}$.

$\Box$

Die Gauß-Abbildung

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1},$

die jeden Punkt ${}P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.

Im Allgemeinen denken wir uns Tangentialvektoren und Normalenvektoren an den Punkt ${}P\in Y$ angeheftet, hier ist es aber wichtig, den Normalenvektor als einen Punkt auf der „neutralen“ ${}n-1$- dimensionalen Sphäre zu betrachten. Die Gauß-Abbildung eröffnet eine Möglichkeit, eine beliebige glatte Hyperfläche mit der besonders einfachen Hyperfläche, nämlich der Kugeloberfläche, in Beziehung zu setzen.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann gelten für die Gauß-Abbildung folgende Aussagen.

1. Die Gauß-Abbildung ist stetig.
2. Bei ${}Y=S^{n-1}$ ist die Gauß-Abbildung (wenn die Orientierung nach außen zeigt) die Identität oder die antipodale Abbildung.
3. Wenn ${}Y$ zusammenhängend ist, so sind die Gauß-Abbildungen zu den beiden Orientierungen antipodal zueinander.
4. Sei ${}Y$ zusammenhängend. Dann ist die Gauß-Abbildung genau dann konstant, wenn ${}Y$ ein offener Ausschnitt aus einem affin-linearen Unterraum der Dimension ${}n-1$ ist.

Beweis

1. Dies folgt aus Lemma 2.4.
2. Klar.
3. Klar.
4. Die Rückrichtung ist klar. Zum Beweis der Hinrichtung sei der Einheitsnormalenvektor konstant gleich

   ${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=g(P)v\,$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion ${}g\colon Y\rightarrow \mathbb {R}$. Wir können ${}h$ durch ${}{\frac {h}{\Vert {h}\Vert }}$ ersetzen ohne ${}Y$ zu verändern. Dann ist nach Lemma 2.7

   ${}\operatorname {Grad} \,h(P)=\pm v\,$

   und daher

   ${}h(x_{1},\ldots ,x_{n})=\pm \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\,.$

   Die Faser zu ${}h$ auf ganz ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist ein affin-linearer Untervektorraum.

$\Box$

Wir erinnern an den folgenden Satz.

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser ${}M=f^{-1}(b)$ von ${}f$ zu einem Punkt ${}b\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist jeder ${}(n-1)$-dimensionale Unterraum ${}V\subset \mathbb {R} ^{n}$ für mindestens einen Punkt ${}a\in M$ gleich dem Tangentialraum ${}T_{a}M$.

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

$h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser ${}Y=h^{-1}(c)$ von ${}h$ zu ${}c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär.

Dann ist die Gauß-Abbildung

$Y\longrightarrow S^{n-1}$

surjektiv.

Beweis

Ein Einheitsnormalenvektor beschreibt über die Orthogonalitätsrelation eine Hyperebene, also einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum, wobei auch der negierte Einheitsnormalenvektor die gleiche Hyperebene beschreibt. Satz 2.10 zeigt, dass jede Hyperebene als ein Tangentialraum von ${}Y$ auftritt. Der Beweis von Satz 2.10 zeigt aber ferner (wenn man dort neben dem Maximum auch das Minimum betrachtet), dass beide Normaleneinheitsvektoren auftreten.

$\Box$

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