Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass man einen Graphen genau dann eindimensional realisieren kann, wenn jede Zusammenhangskomponente von ihm ein Pfad ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Graph genau dann planar ist, wenn jede Zusammenhangskomponente von ihm planar ist.

Aufgabe

Beschreibe eine explizite ebene Realisierung des vollständigen Graphen mit ${}4$ Knotenpunkten. Es sollen insbesondere die stetigen Wege explizit gegeben sein.

Aufgabe

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Aufgabe

Kann es bei einem zusammenhängenden ebenen Graphen sein, dass es darin einen Kreis gibt, der die Taille des Graphen realisiert, der echt innerhalb eines Kreises verläuft, der den Umfang des Graphen realisiert.

Aufgabe

Bestimme für den abgebildeten Graphen die Anzahl der Knotenpunkte, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Gebiete und bestätige die eulersche Polyederformel.

Aufgabe

Skizziere eine ebene Realisierung des Graphen mit ${}5$ Punkten und ${}9$ Kanten.

Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur König auf einem ${}3\times 3$-Feld planar?

Aufgabe *

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur König auf einem ${}5\times 5$-Feld planar?

Aufgabe *

Für welche der Schachfiguren Turm, Läufer, Dame, König ist der Spielzuggraph zu einem ${}8\times 8$-Feld planar?

Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Springer (Pferd) auf einem ${}8\times 8$-Feld planar?

Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Turm auf einem ${}2\times 3$-Feld planar?

Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Turm auf einem ${}3\times 3$-Feld planar?

Aufgabe

Ist der Spielzuggraph zur Schachfigur Läufer auf einem ${}4\times 4$-Feld planar?

Aufgabe

Zähle auf einem real existierenden Würfel die Eckpunkte, die Kanten und die Seiten. Gilt dafür die eulersche Polyederformel?

Kommentar:

Jeder Würfel hat 8 Eckpunkte, 12 Kanten und 6 Seiten. Da ${}8-12+6=2$, gilt die eulersche Polyederformel für alle Würfel. Dies sollte uns nicht überraschen, da jeder Würfel eine ebene Realisierung besitzt (siehe die Vorlesung für eine solche Realisierung), in der jede Seite des Würfels einem Gebiet der Realisierung entspricht.

Im Allgemeinen ist es bekannt, dass jedes Polyeder eine ebene Realisierung hat. Die eulersche Polyederformel gilt somit für alle Polyeder.

 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für den abgebildeten Graphen die Anzahl der Knotenpunkte, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Gebiete und bestätige die eulersche Polyederformel.