Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die chromatische Zahl eines Rundganges.


Aufgabe

Butterfly graph.svg

Bestimme die chromatische Zahl des Schmetterlingsgraphen.


Aufgabe

Das Seminar zum Thema „Gezielter Einsatz von Vorlesungshunden in schwierigen Zeiten“ beginnt mit Gruppenarbeit. In der ersten Runde war die Gruppenaufteilung folgendermaßen. Gruppe A: Erika, Sven, Peter, Petra. Gruppe B: Lutz, Mats, Petsi, Gruppe C: Anna,Lena, Christian, Doro, Henning, Gruppe D: Marion, Markus, Martin, Martina, Marianne. Für die zweite Runde soll eine neue Gruppenaufteilung vorgenommen werden, bei der Leute, die sich schon (durch die Gruppenarbeit in der ersten Runde) kennen, nicht zusammen in eine Gruppe kommen.

  1. Was ist die minimale Anzahl an Gruppen, die dafür benötigt wird?
  2. Wie viele Möglichkeiten für die zweite Gruppenaufteilung gibt es, wenn jede Gruppe zumindest drei Teilnehmer haben soll.
  3. Wie sieht es für die dritte Gruppenaufteilung aus?


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge mit einer Äquivalenzrelation und dem zugehörigen Graphen , wobei die Schleifen ignoriert werden. Zeige, dass die chromatische Zahl von gleich dem Maximum der Größe der Äquivalenzklassen ist.


Aufgabe

Olympic flag.svg

Wir betrachten die Ringe der olympischen Ringe als Knotenpunkte eines Graphen, wobei zwei Knotenpunkte miteinander benachbart sein sollen, wenn sich die zugehörigen Ringe treffen. Was ist die chromatische Zahl dieses Graphen?


Aufgabe

Zeige, dass die chromatische Zahl eines Graphen die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Ein Graph ist genau dann nicht leer, wenn seine chromatische Zahl ist.
  2. Ein nichtleerer Graph besitzt genau dann die chromatische Zahl , wenn er keine Kanten besitzt.
  3. Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn seine chromatische Zahl ist.
  4. Es ist
  5. Der vollständige Graph besitzt die chromatische Zahl .


Aufgabe *

Undirected graph no background.svg

Bestimme sämtliche zulässigen Färbungen für den abgebildete Graphen mit den Farben rot, blau und grün.


Aufgabe

Es sei eine zulässige Färbung auf einem Graphen . Es sei injektiv. Zeige, dass auch eine zulässige Färbung auf ist.


Aufgabe

Es sei ein Graphhomomorphismus und eine zulässige Färbung von . Zeige, dass eine zulässige Färbung von ist.

Zeige, dass diese Aussage nicht gilt, wenn ein schwacher Graphhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ein Graph und eine Menge. Zeige, dass eine zulässige Färbung dasselbe ist wie ein Graphhomomorphismus .


Aufgabe

Zeige, dass das chromatische Polynom eines Baumes mit Knoten gleich ist.


Aufgabe

Bestimme das chromatische Polynom eines Sterngraphen.


Aufgabe

Es sei ein Blatt eines Graphen und sei der Untergraph, bei dem und die zugehörige Kante entfernt wurde. Zeige, dass zwischen den chromatischen Polynomen die Beziehung

besteht.


Aufgabe *

Zeige durch Induktion über , dass das chromatische Polynom eines Rundganges mit Knoten gleich ist.


Aufgabe *

Bestimme das chromatische Polynom zum vollständigen bipartiten Graphen .


In den beiden folgenden Aufgaben bezeichnen wir mit die Menge der Graphhomomorphismen von nach .

Aufgabe

Es sei ein fixierter Graph. Zeige, dass es zu einer Kante eines Graphen stets eine natürliche Identifizierung

gibt.


Aufgabe

Es sei ein Graph und sei die disjunkte Vereinigung von Graphen und . Zeige, dass es eine natürliche Identifizierung

gibt.


Zu einem Graphen und einem kommutativen Ring nennt man den Restklassenring

den Stanley-Reisner-Ring zu (über ).


Ein Stanley-Reisner-Ring ist eine Möglichkeit, einen ungerichteten Graphen in ein algebraisches Objekt zu übersetzen. In einem solchen Restklassenring werden also alle Monome mit zumindest drei verschiedenen Variablen zu gemacht und ein Monom mit zwei verschiedenen Variablen wird genau dann zu gemacht, wenn das zugehörige Knotenpaar keine Kante ist. Mit dem sogenannten Hilbertpolynom wird einem jeden -graduierten Ring ein Polynom zugeordnet. Im Falle eines Stanley-Reisner-Ringes zu einem ungerichteten Graphen ist dies besonders einfach.

Aufgabe

Es sei ein Graph mit Knoten und Kanten, sei ein Körper und der Stanley-Reisner-Ring zu über . Zeige, dass die -Vektorraumdimension der -ten Stufe für durch das lineare Polynom

beschrieben wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige mit Lemma 24.12  (1), dass die chromatische Funktion ein normiertes Polynom ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das chromatische Polynom zum vollständigen bipartiten Graphen .


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