Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\inputaufgabe
{}
{
Axiomatisiere den Körperbegriff in einer geeigneten Sprache erster Stufe.
Eine Menge $K$ heißt ein \definitionswort {Körper}{,} wenn es zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: K \times K \longrightarrow K \text{ und } \cdot: K \times K \longrightarrow K} { }
und zwei verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0,1
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Axiome der Addition
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a + b) + c
}
{ = }{ a + (b + c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{b+a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+0
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}{Axiome der Multiplikation
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a \cdot b) \cdot c
}
{ = }{ a \cdot (b \cdot c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a \cdot b
}
{ = }{b \cdot a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a \cdot 1
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Existenz des Inversen: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a \cdot c
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}{Distributivgesetz:
Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a \cdot (b+c)
}
{ = }{ (a \cdot b) + (a \cdot c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Axiomatisiere den Begriff eines angeordneten Körpers in einer geeigneten Sprache erster Stufe.
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
$\geq$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + c
}
{ \geq }{ b + c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
} {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a, b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgenden
\definitionsverweis {prädikatenlogischen Ausdrücke}{}{}
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{}
sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\forall x \forall y \forall z ((x=y \wedge y=z) \rightarrow x=z)} { . }
}{
\mathdisp {(\forall x \alpha) \rightarrow \alpha} { }
(wobei $\alpha$ ein Ausdruck ist).
}{
\mathdisp {\alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \alpha_3 \rightarrow \beta} { , }
wobei
\mathl{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}{} die Gruppenaxiome sind und
\mathdisp {\beta \defeq \forall z ( \forall x ( zx=x \wedge xz =x) \rightarrow z =e )} { }
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge und $\alpha$ ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige, dass
\mathl{\Gamma \vDash \alpha}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{\Gamma \cup \{ \neg \alpha\}}{} nicht
\definitionsverweis {erfüllbar}{}{}
ist.
}
{} {}
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