Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 5

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe

Axiomatisiere den Körperbegriff in einer geeigneten Sprache erster Stufe.


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


Aufgabe

Axiomatisiere den Begriff eines angeordneten Körpers in einer geeigneten Sprache erster Stufe.


Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.


Aufgabe

Zeige, dass die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke allgemeingültig sind.

  1. (wobei ein Ausdruck ist).

  2. wobei die Gruppenaxiome sind und
    ist.


Aufgabe

Es sei eine Ausdrucksmenge und ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige, dass genau dann gilt, wenn nicht erfüllbar ist.



<< | Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)