Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 5

Aufgabe

Axiomatisiere den Körperbegriff in einer geeigneten Sprache erster Stufe.

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente  ${}0,1\in K$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt:  ${}(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in K$  gilt  ${}a+b=b+a$. 
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  ${}a\in K$  ist  ${}a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  ${}a\in K$  gibt es ein Element  ${}b\in K$  mit  ${}a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt:  ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in K$  gilt  ${}a\cdot b=b\cdot a$. 
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  ${}a\in K$  ist  ${}a\cdot 1=a$. 
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem  ${}a\in K$  mit  ${}a\neq 0$  gibt es ein Element  ${}c\in K$  mit  ${}a\cdot c=1$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt  ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$. 

Aufgabe

Axiomatisiere den Begriff eines angeordneten Körpers in einer geeigneten Sprache erster Stufe.

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus  ${}a\geq b$  folgt  ${}a+c\geq b+c$  (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus  ${}a\geq 0$  und  ${}b\geq 0$  folgt  ${}ab\geq 0$  (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke allgemeingültig sind.

1. $\forall x\forall y\forall z((x=y\wedge y=z)\rightarrow x=z).$

2. $(\forall x\alpha )\rightarrow \alpha$

   (wobei ${}\alpha$ ein Ausdruck ist).

3. $\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \alpha _{3}\rightarrow \beta ,$

   wobei ${}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ die Gruppenaxiome sind und

   $\beta :=\forall z(\forall x(zx=x\wedge xz=x)\rightarrow z=e)$

   ist.

Aufgabe

Es sei ${}\Gamma$ eine Ausdrucksmenge und ${}\alpha$ ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige, dass ${}\Gamma \vDash \alpha$ genau dann gilt, wenn ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ nicht erfüllbar ist.

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