Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise aus
der Existenzeinführung im Antezedens
die \stichwort {All\-einführung im Sukzedens} {.} Sie besagt, dass man aus
\mathdisp {\vdash \beta \rightarrow \alpha \frac{y}{x}} { }
unter der Bedingung, dass $y$ weder in $\forall x \alpha$ noch in $\beta$ frei vorkommt, auf
\mathdisp {\vdash \beta \rightarrow \forall x \alpha} { }
schließen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mathdisp {\vdash \exists x (x=y)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Zeige
\mathdisp {\vdash \exists x (\alpha \wedge \beta) \rightarrow \exists x \alpha \wedge \exists x \beta} { . }
b) Zeige, dass
\mathdisp {\exists x \alpha \wedge \exists x \beta \rightarrow \exists x (\alpha \wedge \beta)} { }
keine
\definitionsverweis {Tautologie}{}{}
ist.
}
{} {}
Die beiden folgenden Aufgaben sind vermutlich mühselig.
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe einen \definitionsverweis {formalen Beweis}{}{} für die Aussage, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {surjektiven Abbildungen}{}{} auf einer Menge wieder surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe einen \definitionsverweis {formalen Beweis}{}{} für die Aussage, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {injektiven Abbildungen}{}{} auf einer Menge wieder injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Gamma$ eine Ausdrucksmenge aus einer
\definitionsverweis {Sprache erster Stufe}{}{}
und $\alpha$ ein weiterer Ausdruck. Es sei $\alpha$ nicht aus $\Gamma$
\definitionsverweis {ableitbar}{}{.}
Zeige, dass man aus
\mathl{\Gamma \cup \{\neg \alpha \}}{} keinen Widerspruch
\zusatzklammer {also keinen Ausdruck der Form
\mathl{\beta \wedge \neg \beta}{}} {} {}
ableiten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Gamma$ eine Menge von $S$-\definitionsverweis {Ausdrücken}{}{,} die über beliebig großen endlichen Grundmengen \definitionsverweis {erfüllbar}{}{} ist. Zeige, dass $\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.
}
{} {}
Wegen der vorstehenden Aussage gibt es keinen Ausdruck, der genau in allen endlichen Grundmengen gilt. Dennoch kann man die (Un-)endlichkeit prädikatenlogisch charakterisieren.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Ausdrucksmenge}{}{}
$\Gamma$ mit der Eigenschaft gibt, dass für jede
\definitionsverweis {Interpretation}{}{}
$I$ genau dann
\mathl{I \vDash \Gamma}{} gilt, wenn die Grundmenge der Interpretation unendlich ist.
}
{} {}
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