Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorlesung 7

Quantorenaxiome und -regeln

Wir besprechen nun die Tautologien und Ableitungsregeln, die mit den Quantoren zusammenhängen. Wir arbeiten allein mit dem Existenzquantor und wir arbeiten nur mit nichtleeren Grundmengen. Letzteres ist Voraussetzung dafür, dass es überhaupt eine Variablenbelegung geben kann. Bei den jetzt einzuführenden Axiomen handelt es sich um eine Tautologie (genauer gesagt um ein Schema von Tautologien), nämlich die Existenzeinführung im Sukzedens und um eine Schlussregel, nämlich die Existenzeinführung im Antezedens. Für letztere ist die exakte Formulierung und der Korrektheitsnachweis nicht trivial.

Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $α$ ein $S$ -Ausdruck, $x$ eine Variable und $t$ ein $S$ -Term. Dann ist

⊢ α \frac{t}{x} \to \exists x α .

Diese Tautologie bedeutet inhaltlich gesprochen, dass ein Ausdruck, für den man einen erfüllenden Term gefunden hat, auf die entsprechende Existenzaussage schließen kann. Diese Tautologie ist allgemeingültig: Wenn in einer Interpretation $I$ die Beziehung

I ⊨ p \frac{t}{x}

gilt, so ist dies nach dem Substitutionslemma äquivalent zu

I \frac{I (t)}{x} ⊨ p,

und das bedeutet wiederum

I ⊨ \exists x p .

Einen wichtigen Spezialfall dieser Tautologie erhält man für $t = x$ , nämlich

⊢ p \to \exists x p .

Für den Allquantor (den wir als Abkürzung verstehen) ergibt sich die entsprechende Tautologie

⊢ \forall x p \to p \frac{t}{x} .

Axiom

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $α$ und $β$ seien $S$ -Ausdrücke, $x$ und $y$ seien Variablen. Dann gilt die folgende Regel: Wenn

⊢ α \frac{y}{x} \to β

gilt und wenn $y$ weder in $\exists x α$ noch in $β$ frei vorkommt, so gilt auch

⊢ \exists x α \to β .

Ein Spezialfall dieser Ableitungsregel ist, dass man aus $⊢ p \to q$ unter der Bedingung, dass $x$ nicht frei in $q$ vorkommt, auf $⊢ \exists x p \to q$ schließen kann.

Die Allvariante dieser Schlussregel ist die Alleinführung im Sukzedens. Sie besagt, dass man aus

⊢ q \to p \frac{y}{x}

unter der Bedingung, dass $y$ weder in $\forall x p$ noch in $q$ frei vorkommt, auf

⊢ q \to \forall x p

schließen kann.

Die Existenzeinführung im Antezedens ist die einzige syntaktische Gesetzmäßigkeit, deren Korrektheit nicht unmittelbar klar ist.

Lemma

Die Existenzeinführung im Antezedens ist eine korrekte Regel.

Beweis

Es sei $α \frac{y}{x} \to β$ allgemeingültig, d.h.

I ⊨ α \frac{y}{x} \to β

für jede $S$ -Interpretation $I$ . Wir müssen zeigen, dass dann auch $\exists x α \to β$ allgemeingültig ist (unter den gegebenen Voraussetzungen). Es sei dazu $I$ eine Interpretation mit

I ⊨ \exists x α .

Aufgrund der Modellbeziehung bedeutet dies, dass es ein $m \in M$ (aus der Grundmenge der Interpretation) mit

I \frac{m}{x} ⊨ α

gibt. Die Variable $y$ kommt nach Voraussetzung in $\exists x α$ nicht frei vor, d.h. bei $y \neq x$ , dass $y$ in $α$ nicht frei vorkommt. Wir können daher das Koinzidenzlemma anwenden und erhalten

(I \frac{m}{x}) \frac{m}{y} ⊨ α .

Diese Aussage gilt trivialerweise auch bei $x = y$ . Damit gilt auch

(I \frac{m}{y}) \frac{m}{x} ⊨ α .

Wir schreiben dies (etwas künstlich) als

(I \frac{m}{y}) \frac{(I \frac{m}{y}) (y)}{x} ⊨ α .

Darauf können wir das Substitutionslemma (für die Interpretation $J = I \frac{m}{y}$ und den Term $y$ ) anwenden und erhalten

I \frac{m}{y} ⊨ α \frac{y}{x} .

Wegen der vorausgesetzten Allgemeingültigkeit von $α \frac{y}{x} \to β$ folgt

I \frac{m}{y} ⊨ β .

Da $y$ in $β$ nicht frei vorkommt, liefert das Koinzidenzlemma

I ⊨ β .

◻

Bemerkung

Die Variablenbedingung in der Existenzeinführung im Antezedenz ist wesentlich. Das zeigt am besten die Betrachtung $β = α$ , wobei darin die Variable $x = y$ frei vorkommen möge (also z.B. $α = R x$ , wobei $R$ ein einstelliges Relationssymbol sei). Dann ist natürlich

⊢ α \to α

richtig, und die Variablenbedingung an $x$ , bezogen auf diesen Ausdruck, ist nicht erfüllt. Die Aussage

\exists x α \to α,

die man unter Missachtung dieser Variablenbedingung ableiten könnte, ist keine Tautologie. Aus der Existenz eines Elementes $m \in M$ , das die Relation $R^{M}$ erfüllt, folgt ja keineswegs, dass die Relation für alle Elemente gilt. Diese Ableitungsregel lässt sich also insbesondere nicht durch eine interne Tautologie ersetzen.

Abgeleitete Regeln

Lemma

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe, $α$ ein $S$ -Ausdruck und $x$ eine Variable.

Dann ist $⊢ α$ genau dann, wenn $⊢ \forall x α$ ist.

Beweis

Nach der Allquantorversion von Axiom 7.1 ist

⊢ \forall x α \to α \frac{x}{x},

also

⊢ \forall x α \to α .

Daher folgt aus

⊢ \forall x α

mittels Modus ponens direkt

⊢ α .

Es sei umgekehrt $⊢ α$ gegeben. Es sei $β$ ein beliebiger Ausdruck, in dem $x$ nicht vorkomme. Nach Axiom 6.4 (1) und Modus ponens ergibt sich

⊢ β \to α

und

⊢ \neg β \to α .

Auf diese beiden abgeleiteten Ausdrücke wird nun die Allquantorversion der Existenzeinführung im Antezedens (also die Alleinführung im Sukzedens) angewendet. Dies ist möglich, da $x$ in $β$ überhaupt nicht und in $\forall x α$ nicht frei vorkommt. Man erhält

⊢ β \to \forall x α

und

⊢ \neg β \to \forall x α .

Daraus ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel

⊢ \forall x α .

◻

Diese Aussage bedeutet aber keineswegs, dass man den Allquantor überall weglassen oder hinzufügen könnte. Sie bedeutet lediglich, dass bei einem Ausdruck, der als Ganzes als eine Tautologie erwiesen ist, auch der entsprechende Allausdruck eine Tautologie ist und umgekehrt. Semantisch betrachtet beruht diese Äquivalenz darauf, dass die Allgemeingültigkeit von $p$ bedeutet, dass bei einer beliebigen (Struktur- und) Variablenbelegung die entstehende Aussage ohne freie Variable wahr wird. Da ist also eine Allaussage schon miteingebunden.

Für den Existenzquantor gilt die entsprechende Äquivalenz nicht. Zwar ergibt sich aus $⊢ p$ direkt $⊢ \exists x p$ (und zwar unabhängig davon, ob $x$ in $p$ vorkommt oder nicht; die Allgemeingültigkeit beruht darauf, dass nur nichtleere Grundmengen betrachtet werden), aber nicht umgekehrt. Beispielsweise ist

⊢ \exists x (x = y),

aber $x = y$ ist keine Tautologie.

Lemma

Die folgenden Ausdrücke sind im Prädikatenkalkül ableitbar.

$⊢ \exists x \exists y α \to \exists y \exists x α .$

$⊢ \forall x α \land \forall x (α \to β) \to \forall x β .$

$⊢ \forall x α \land \forall x β \leftrightarrow \forall x (α \land β) .$

$⊢ \exists x α \land \forall x (α \to β) \to \exists x β .$

$⊢ \exists x (α \land β) \to \exists x α \land \exists x β .$

Beweis

(1). Durch Existenzeinführung im Sukzedenz haben wir

⊢ α \to \exists x α

und

⊢ \exists x α \to \exists y \exists x α

und daraus

⊢ α \to \exists y \exists x α .

Dabei ist $y$ hinten gebunden und somit kann man mit der Existenzeinführung im Antezedens auf

⊢ \exists y α \to \exists y \exists x α

schließen. Da auch $x$ hinten gebunden ist, ergibt sich

⊢ \exists x \exists y α \to \exists y \exists x α .

(2). Aufgrund der Alleinführung im Antezedens ist

⊢ \forall x α \to α

und

⊢ \forall x (α \to β) \to (α \to β) .

Dies konjugiert (unter Verwendung von Lemma 6.7 (2)) ergibt

⊢ \forall x α \land \forall x (α \to β) \to α \land (α \to β) .

Ferner haben wir die aussagenlogische Tautologie

⊢ α \land (α \to β) \to β .

Damit ergibt sich aufgrund der Transitivität der Implikation die Ableitung

⊢ \forall x α \land \forall x (α \to β) \to β .

Da $x$ vorne und in $\forall x β$ gebunden vorkommt, gilt nach der Alleinführung im Sukzedens auch

⊢ \forall x α \land \forall x (α \to β) \to \forall x β .

Zu (3) siehe Aufgabe 11.9 (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)) und Aufgabe 11.10 (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)).

(4). Aufgrund der Alleinführung im Antezedens ist

⊢ \forall x (α \to β) \to (α \to β),

was wir als

⊢ α \land \forall x (α \to β) \to β

schreiben. Wegen $⊢ β \to \exists x β$ ist auch

⊢ α \land \forall x (α \to β) \to \exists x β,

was wir als

⊢ α \to (\forall x (α \to β) \to \exists x β)

schreiben. Im Sukzedens ist $x$ gebunden, daher folgt aus der Existenzeinführung im Antezedens

⊢ \exists x α \to (\forall x (α \to β) \to \exists x β),

was aussagenlogisch äquivalent zur Behauptung ist.

Zu (5) siehe Aufgabe 7.3.

◻

Die Ableitungsbeziehung

Analog zur Folgerungsbeziehung definieren wir die Ableitungsbeziehung aus einer Ausdrucksmenge.

Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $Γ$ eine Menge an $S$ -Ausdrücken

und

α

ein weiterer

S

-Ausdruck. Man sagt, dass

α

aus

Γ

ableitbar ist, geschrieben

Γ ⊢ α,

wenn es endlich viele Ausdrücke

$α_{1}, \dots, α_{n} \in Γ$ derart gibt, dass

⊢ α_{1} \land \dots \land α_{n} \to α

gilt.

Man kann sich also wieder fragen, welche Ausdrücke aus einer vorgegebenen Ausdrucksmenge $Γ$ , beispielsweise einem Axiomensystem einer Sprache erster Stufe, ableitbar sind. Unser „unbedingter“ Prädikatenkalkül, der die syntaktischen Tautologien generiert, führt zu einem entsprechenden Regelsatz für die Ableitbarkeit aus $Γ$ . Dies ist näher an der mathematischen Praxis, da man sich dort in einem bestimmten mathematischen Kontext bewegt (z.B. der Gruppentheorie) und daher unter der Voraussetzung arbeitet, dass eine gewisse Ausdrucksmenge (z.B. die Gruppenaxiome) vorliegt, aus der heraus man etwas beweisen möchte.

Der Vollständigkeitssatz

Im Laufe der Einführung des syntaktischen Prädikatenkalküls haben wir gesehen, dass die in ihm ableitbaren Ausdrücke allgemeingültig sind, dass also sämtliche durch den Prädikatenkalkül generierten formalen Tautologien auch semantische Tautologien sind. Daraus ergibt sich insbesondere, dass sich aus der Ableitbarkeitsbeziehung

Γ ⊢ p

die Folgerungsbeziehung

Γ ⊨ p

ergibt. Diese Aussage nennt man auch den Korrektheitssatz. Der entworfene Kalkül produziert also nur korrekte mathematische Aussagen.

Die Umkehrung ist deutlich schwieriger: Es geht um die Frage, ob der Kalkül jeden allgemeingültigen Ausdruck formal ableiten kann, ob es also für jeden mathematischen Beweis eines Ausdrucks einer Sprache erster Stufe auch einen formalen Beweis gibt. Es ist die Frage, ob der Kalkül vollständig ist. Dies ist in der Tat der Fall. Für diesen Vollständigkeitssatz, der auf Gödel zurückgeht, geben wir nur eine kurze Beweisidee.

Satz

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $Γ$ eine Menge an $S$ -Ausdrücken und $α$ ein weiterer $S$ -Ausdruck.

Dann gilt $Γ ⊨ α$ genau dann, wenn $Γ ⊢ α$ gilt.

Beweis

Die Implikation von rechts nach links, dass also ein aus

Γ

ableitbarer Ausdruck auch aus

Γ

folgt, beruht auf der Korrektheit des Prädikatenkalküls. Die umgekehrte Richtung wird durch Kontraposition bewiesen. Es sei also

p

ein Ausdruck, der nicht aus

Γ

ableitbar ist. Man muss dann zeigen, dass er auch nicht aus

Γ

folgt. D.h. man muss zeigen, dass es eine Interpretation

I

(also insbesondere eine $S$ -Struktur) gibt, unter der $Γ$ gilt, aber nicht $p$ . Wegen der Unableitbarkeit kann man aus der Ausdrucksmenge $Γ \cup {\neg p}$ keinen Widerspruch ableiten. Daher muss man zu einer (syntaktisch) widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ein erfüllendes Modell konstruieren. Die Grundidee dazu ist, auf der Menge der $S$ -Terme eine Äquivalenzrelation unter Berücksichtigung der Ausdrucksmenge einzuführen und die resultierende Quotientenmenge

als Grundmenge der Struktur zu nehmen. Dahinter stecken aber einige Feinheiten, die wir hier nicht ausführen.

◻

Das folgende Korollar, der sogenannte Endlichkeitssatz, demonstriert, dass der Vollständigkeitssatz keineswegs selbstverständlich ist. Es sei eine Folgerungsbeziehung $Γ ⊨ p$ bewiesen, also gezeigt, dass jede Interpretation, die $Γ$ erfüllt, auch $p$ erfüllen muss. Dabei sei $Γ$ unendlich, man denke etwa an ein unendliches Axiomenschema, wie es im Induktionsschema der erststufigen Peano-Arithmetik vorliegt. Ist es vorstellbar, dass in einem Beweis irgendwie auf all diese unendlich vielen Voraussetzungen Bezug genommen wird?