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Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Definitionsliste

Aus Wikiversity
Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.



Definition:Mersennesche Primzahl

Eine Primzahl der Form heißt Mersennesche Primzahl.



Definition:Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus und , wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.



Definition:Wort über einem Alphabet

Es sei eine Menge von Symbolen. Dann nennt man jede endliche Zeichenreihe, die man mit den Elementen aus aufstellen kann, ein Wort über dem Alphabet .



Definition:Sprache der Aussagenlogik

Es sei eine Menge (deren Elemente wir als Aussagenvariable bezeichnen). Dann wird die zugehörige Sprache der Aussagenlogik (zu ) rekursiv durch folgende Regeln definiert.

  1. Jedes gehört zu .
  2. Wenn ist, so ist auch .
  3. Wenn sind, so sind auch .


Definition:Wahrheitsbelegung

Es sei eine Menge von Variablen und die zugehörige aussagenlogische Sprache. Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung

(oder mit als Wertebereich).



Definition:Interpretation (Aussagenlogik)

Es sei eine Menge von Variablen, die zugehörige aussagenlogische Sprache und

eine Wahrheitsbelegung. Unter der zugehörigen Interpretation versteht man die über den rekursiven Aufbau der Sprache festgelegte Abbildung

mit

  1. für jede Aussagenvariable .
  2. Bei ist
  3. Bei ist
  4. Bei ist
  5. Bei ist
  6. Bei ist


Definition:Aussagenlogische Grundtautologien

Für eine Aussagenvariablenmenge und beliebige Ausdrücke legt man folgende (syntaktische) Tautologien axiomatisch fest.

  1. und



Definition:Ableitbar (Aussagenlogik)

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge und sei . Man sagt, dass aus ableitbar ist, geschrieben

wenn es endlich viele Ausdrücke derart gibt, dass

gilt.



Definition:Widersprüchliche Ausdrucksmenge (Aussagenlogik)

Eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge heißt widersprüchlich, wenn es einen Ausdruck mit und gibt. Eine nicht widersprüchliche Ausdrucksmenge heißt widerspruchsfrei.



Definition:Maximal widerspruchsfrei (Aussagenlogik)

Eine Teilmenge zu einer Menge an Aussagenvariablen heißt maximal widerspruchsfrei, wenn widerspruchsfrei ist und jede echt größere Menge widersprüchlich ist.



Definition:Grundtermmenge

Eine Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.

  1. eine Variablenmenge ,
  2. eine Konstantenmenge ,
  3. zu jedem eine Menge von Funktionssymbolen.


Definition:Termmenge

Zu einer Grundtermmenge ist die zugehörige Termmenge (oder die Menge der -Terme) diejenige Teilmenge der Wörter über dem Termalphabet , die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.

  1. Jede Variable ist ein Term.
  2. Jede Konstante ist ein Term.
  3. Für jedes und Terme ist auch ein Term.


Definition:Alphabet einer Sprache erster Stufe

Ein Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst die folgenden Daten.

  1. Eine Grundtermmenge, also eine Menge aus Variablen, Konstanten und Funktionssymbolen.
  2. Zu jeder natürlichen Zahl eine Menge von -stelligen Relationssymbolen.
  3. Die aussagenlogischen Junktoren
  4. Das Gleichheitszeichen .
  5. Die Quantoren und .
  6. Klammern, also und .


Definition:Ausdruck in einer Sprache erster Stufe

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann nennt man die folgenden rekursiv definierten Wörter über diesem Alphabet die Ausdrücke dieser Sprache.

  1. Wenn und Terme sind, so ist

    ein Ausdruck.

  2. Wenn ein -stelliges Relationssymbol ist und Terme sind, so ist

    ein Ausdruck.

  3. Wenn und Ausdrücke sind, so sind auch

    Ausdrücke.

  4. Wenn ein Ausdruck und eine Variable ist, so sind auch

    Ausdrücke.



Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Relation auf einer Menge

Unter einer -stelligen Relation auf einer Menge versteht man eine Teilmenge der -fachen Produktmenge .



Definition:Abbildung

Seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

aus.



Definition:n-stellige Abbildung

Es sei eine Menge. Unter einer -stelligen Abbildung auf versteht man eine Abbildung

vom - fachen Produkt von mit sich selbst nach .



Definition:Interpretation

Es sei das Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe. Unter einer -Struktur versteht man eine nichtleere Menge mit den folgenden Festlegungen.

  1. Für jede Konstante ist ein Element festgelegt.
  2. Zu jedem -stelligen Funktionssymbol (aus ) ist eine -stellige Funktion

    festgelegt.

  3. Zu jedem -stelligen Relationssymbol (aus ) ist eine -stellige Relation

    festgelegt.

Unter einer -(Variablen)belegung in versteht man eine Festlegung für jede Variable .

Unter einer -Interpretation versteht man eine -Struktur zusammen mit einer -Belegung.



Definition:Terminterpretation

Zu einem Symbolalphabet erster Stufe und einer - Interpretation in einer Menge wird induktiv über den Aufbau der Terme für jeden - Term eine Interpretation in definiert.

  1. Für jede Konstante und jede Variable ist die Terminterpretation durch die Interpretation bzw. die Belegung direkt gegeben, also und .
  2. Wenn Terme mit den Interpretationen sind und wenn ein -stelliges Funktionssymbol ist, so wird der Term als interpretiert.


Definition:Uminterpretation

Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe und eine - Interpretation in einer Menge gegeben. Es sei eine Variable und ein Element der Grundmenge. Dann versteht man unter der Uminterpretation diejenige Interpretation von in , die strukturgleich zu ist und für deren Variablenbelegung

gilt.



Definition:Gültigkeit unter einer Interpretation

Zu einem Symbolalphabet erster Stufe und einer - Interpretation in einer Menge werden die - Ausdrücke folgendermaßen (induktiv über den Aufbau der Ausdrücke) interpretiert und als gültig (oder ungültig) charakterisiert (die Gültigkeit einer Aussage unter der Interpretation wird dabei als geschrieben). Es seien Terme, ein -stelliges Relationssymbol und Ausdrücke.

  1. , wenn .
  2. , wenn .
  3. , wenn nicht gilt.
  4. , wenn und gilt.
  5. , wenn die Gültigkeit die Gültigkeit impliziert.
  6. , wenn es ein mit gibt.
  7. , wenn für alle die Beziehung gilt.


Definition:Allgemeingültiger Ausdruck

Es sei ein Symbolalphabet und ein - Ausdruck in der Prädikatenlogik erster Stufe. Man nennt allgemeingültig (oder eine semantische Tautologie), wenn er in jeder - Interpretation gilt, also wahr ist.



Definition:Gruppe

Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
  2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
  3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .


Definition:Folgerung

Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe, eine Menge von - Ausdrücken und ein -Ausdruck. Man sagt, dass aus folgt, geschrieben , wenn für jede - Interpretation mit auch gilt.



Definition:Erfüllbarer Ausdruck

Es sei ein Symbolalphabet und es sei ein - Ausdruck in der Prädikatenlogik erster Stufe. Man nennt erfüllbar, wenn es eine - Interpretation mit gibt.



Definition:Variablensubstitution für Terme

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Dann definiert man rekursiv über den Aufbau der Terme die Substitution für jeden -Term .

  1. Für eine Variable ist
  2. Für eine Konstante ist
  3. Für ein -stelliges Funktionssymbol und Terme ist


Definition:Variablensubstitution für Ausdrücke

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Dann definiert man rekursiv über den Aufbau der - Ausdrücke die Substitution für jeden -Ausdruck .

  1. Für Terme setzt man
  2. Für ein -stelliges Relationssymbol und Terme setzt man
  3. Für einen Ausdruck setzt man
  4. Für Ausdrücke und setzt man

    und ebenso für die anderen zweistelligen Junktoren.

  5. Für einen Ausdruck seien diejenigen Variablen (unter den ), die in frei vorkommen. Es sei , falls nicht in vorkommt. Andernfalls sei die erste Variable (in einer fixierten Variablenaufzählung, falls es abzählbar viele Variablen gibt, bzw. in einer fixierten Wohlordnung der Variablenmenge), die weder in noch in vorkommt. Dann setzt man

    und ebenso für den Existenzquantor.



Definition:Ableitbar (Prädikatenlogik)

Ein Ausdruck heißt ableitbar im Prädikatenkalkül (oder eine syntaktische Tautologie), wenn er sich aus den Grundtautologien, also

    • den aussagenlogischen syntaktischen Tautologien,
    • den Gleichheitsaxiomen,
    • der Existenzeinführung im Sukzedens,

durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt. Die Ableitbarkeit wird durch

ausgedrückt.



Definition:Ableitbar aus Ausdrucksmenge (Prädikatenlogik)

Es sei ein Symbolalphabet, eine Menge an - Ausdrücken

und ein weiterer -Ausdruck. Man sagt, dass aus ableitbar ist, geschrieben
wenn es endlich viele Ausdrücke

derart gibt, dass

gilt.



Definition:Addition mit n

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Addition mit [[Kategorie:Addition mit (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Satz 12.2 eindeutig bestimmte Abbildung

für die

gilt.



Definition:Multiplikation mit n

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Dann definieren wir die Multiplikation mit [[Kategorie:Multiplikation mit (MSW)|~]] als diejenige aufgrund von Satz 12.2 eindeutig bestimmte Abbildung

für die

gilt.



Definition:Maximal widerspruchsfrei

Eine Menge an - Ausdrücken (über einem Symbolalphabet ) heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks die Menge widersprüchlich macht.



Definition:Ausdrucksmenge enthält Beispiele

Man sagt, dass eine Menge an - Ausdrücken (über einem Symbolalphabet ) Beispiele enthält, wenn es für jeden Ausdruck der Form einen - Term derart gibt, dass

zu gehört.



Definition:Atomarer Ausdruck

Unter einem atomaren Ausdruck versteht man Ausdrücke der Form , wobei und Terme sind, und der Form , wobei ein -stelliges Relationssymbol ist und Terme sind.



Definition:Rang (Ausdruck)

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann definiert man für Ausdrücke den Rang von durch

  1. , falls atomar ist.
  2. , falls ist.
  3. , falls mit ist.
  4. , falls oder ist.


Definition:Elementar äquivalent

Zwei - Strukturen und über einem erststufigen Symbolalphabet heißen elementar äquivalent, wenn jeder - Satz, der in gilt, auch in gilt.



Definition:Homomorphismus

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und und seien - Strukturen. Eine Abbildung

heißt -Homomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten.

  1. Für jede Konstante ist
  2. Für jedes -stellige Funktionssymbol ist

    für alle .

  3. Für jedes -stellige Relationsymbol impliziert die Gültigkeit von

    die Gültigkeit von



Definition:Isomorphismus

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und und seien - Strukturen. Eine bijektive Abbildung

heißt -Isomorphismus, wenn sowohl als auch die Umkehrabbildung ein - Homomorphismus ist.



Definition:Elementare Äquivalenz für Elemente

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und eine - Struktur. Wir nennen zwei Elemente elementar äquivalent, wenn für jeden Ausdruck in der einen freien Variablen und jede Variablenbelegung auf die Beziehung

gilt.



Definition:Funktional-abgeschlossene Teilmenge

Es sei ein erststufiges Symbolalphabet umd eine - Struktur. Eine Teilmenge heißt funktional abgeschlossen (oder eine -Unterstruktur), wenn für jede Konstante das Element zu gehört und für jedes -stellige Funktionssymbol und beliebige Elemente auch zu gehört.



Definition:Nichtstandardmodell

Es sei eine fixierte - Struktur (das Standardmodell) über einem Symbolalphabet . Dann nennt man eine weitere -Struktur , die zu elementar äquivalent, aber nicht zu - isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von .



Definition:Reell-abgeschlossener Körper

Ein angeordneter Körper heißt reell-abgeschlossen, wenn folgende Eigenschaften gelten.

  1. Jedes nichtnegative Element aus besitzt eine Quadratwurzel in .
  2. Jedes Polynom mit ungeradem Grad besitzt in eine Nullstelle.


Definition:Registermaschine

Unter einer Registermaschine versteht man eine endliche Folge von Registern (oder Speichern), deren Inhalt jeweils eine natürliche Zahl ist, die durch eine endliche (eventuell leere) Folge von Strichen repräsentiert wird.

Ein Programm für eine Registermaschine ist eine endliche durchnummerierte Folge von Befehlen , wobei es für die einzelnen Befehle die folgenden Möglichkeiten gibt.

  1. (erhöhe den Inhalt des Registers um , d.h. um einen Strich).
  2. (reduziere den Inhalt des Registers um , d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
  3. (wenn das -te Register leer ist, so gehe zum Befehl , andernfalls zum nächsten Befehl).
  4. Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
  5. Halte an.

Dabei muss für alle in einer Programmzeile adressierten Register und für alle adressierten Befehlszeilen gelten. Die letzte Befehlszeile ist ein Haltebefehl und sonst gibt es keinen Haltebefehl.



Definition:Register-berechenbar

Eine - stellige Funktion

heißt -berechenbar (oder Register-berechenbar), wenn es ein Programm für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe (in den ersten Registern) anhält und als (einzige) Ausgabe besitzt.



Definition:Register-entscheidbar

Es sei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass diese Menge -entscheidbar (oder Register-entscheidbar) ist, wenn es ein Programm für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz

gilt.



Definition:Register-aufzählbar

Es sei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass diese Menge -aufzählbar (oder Register-aufzählbar) ist, wenn es ein Programm für eine Registermaschine gibt, die bei Eingabe von nach und nach genau die Zahlen aus ausdruckt (dabei dürfen Zahlen aus auch mehrfach ausgedruckt werden).



Definition:Arithmetisch repräsentierbare Abbildung

Eine Abbildung

heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen -Ausdruck in freien Variablen derart gibt, dass für alle -Tupel die Äquivalenz genau dann, wenn gilt.



Definition:Arithmetisch repräsentierbare Relation

Eine Relation heißt arithmetisch repräsentierbar , wenn es einen -Ausdruck in freien Variablen derart gibt, dass für alle -Tupel die Äquivalenz genau dann, wenn gilt.



Definition:Arithmetische Ausdrücke für Befehle

Den Programmzeilen eines Registerprogramms mit Registern werden die folgenden arithmetischen Ausdrücke in den freien Variablen zugeordnet.

  1. Bei setzt man
  2. Bei setzt man
  3. Bei setzt man
  4. Bei setzt man


Definition:-Funktion

Unter der -Funktion versteht man die Abbildung

die folgendermaßen festgelegt ist. ist die kleinste Zahl , die die Bedingung erfüllt, dass es natürliche Zahlen gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ist eine Quadratzahl.
  5. Alle Teiler von sind ein Vielfaches von .

Wenn kein solches existiert, so ist .



Definition:Theorie (Sprache erster Stufe)

Es sei ein Symbolalphabet und die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Teilmenge heißt Theorie, wenn abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung ist, d.h. wenn aus für bereits folgt.



Definition:Widersprüchliche Theorie

Es sei ein Symbolalphabet und die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie heißt widersprüchlich, wenn es einen Satz mit und gibt.



Definition:Vollständige Theorie

Es sei ein Symbolalphabet und die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie heißt vollständig, wenn für jeden Satz gilt oder .



Definition:Endlich axiomatisierbar

Es sei ein Symbolalphabet und die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie heißt endlich axiomatisierbar, wenn es endlich viele Sätze mit gibt.



Definition:Aufzählbar axiomatisierbar

Es sei ein Symbolalphabet und die zugehörige Sprache erster Stufe. Eine Theorie heißt aufzählbar axiomatisierbar, wenn es eine - aufzählbare Satzmenge mit gibt.



Definition:Repräsentierbare Relation (in Ausdrucksmenge)

Es sei eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Relation heißt repräsentierbar in , wenn es einen -Ausdruck in freien Variablen derart gibt, dass für alle -Tupel die beiden Eigenschaften

  1. Wenn , so ist ,
  2. Wenn , so ist ,

gelten.



Definition:Repräsentierbare Funktion (in Ausdrucksmenge)

Es sei eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Eine Funktion

heißt repräsentierbar in , wenn es einen -Ausdruck in freien Variablen derart gibt, dass für alle -Tupel die folgenden Eigenschaften

  1. Wenn , so ist ,
  2. Wenn , so ist ,
  3. ,

gelten.



Definition:Erlaubt Repräsentierungen

Es sei eine Menge von arithmetischen Ausdrücken. Man sagt, dass Repräsentierungen erlaubt, wenn jede - berechenbare Relation und jede - berechenbare Funktion repräsentiert.



Definition:(Einstelliges) Ableitungsprädikat

Es sei eine korrekte aufzählbare arithmetische Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Es sei der -Ausdruck, der in die zweistellige Ableitungsrelation repräsentiert. Dann setzt man

und nennt dies das (einstellige) Ableitungsprädikat.



Definition:Sprache der Modallogik

Zu einer Menge von Aussagenvariablen besteht die modallogische Sprache aus diesen Aussagenvariablen, aus allen rekursiv-konstruierbaren aussagenlogischen Verknüpfungen und aus allen rekursiv-konstruierbaren Ausdrücken der Form .



Definition:(Formale) Modallogik

Eine unter aussagenlogischen Ableitungen abgeschlossene Teilmenge der modallogischen Sprache heißt (formale) Modallogik.



Definition:K-Modallogik

Eine Modallogik heißt eine -Modallogik, wenn das Axiomenschema

für beliebige Ausdrücke und die Ableitungsregel Nezessisierungsregel

aus folgt

für alle gilt.



Definition:Ableitbar (Modallogik)

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck aus dem - System ableitbar ist, wenn sich aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des - Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt. Dafür schreibt man



Definition:Möglichkeitsaxiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Möglichkeitsaxiom.



Definition:Reflexivitätsaxiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Reflexivitätsaxiom.



Definition:Symmetrieaxiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Symmetrieaxiom.



Definition:Transitivitätsaxiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Transitivitätsaxiom.



Definition:Euklidisches Axiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man euklidisches Axiom (oder Axiom ).



Definition:Löb-Axiom

Das modallogische Axiomenschema

nennt man Löb-Axiom.



Definition:Gerichteter Graph

Ein gerichteter Graph ist eine Menge versehen mit einer fixierten Relation .



Definition:Vorgängermenge

Es sei ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge nennt man

die Vorgängermenge zu .



Definition:Nachfolgermenge

Es sei ein gerichteter Graph. Zu einer Teilmenge nennt man

die Nachfolgermenge zu .



Definition:Euklidische Relation

Eine Relation auf einer Menge heißt euklidisch, wenn zu mit und stets gilt.



Definition:Modallogisches Modell

Unter einem modallogischen Modell versteht man einen gerichteten Graphen zusammen mit einer Wahrheitsbelegung für die Aussagenvariablen für jeden Knotenpunkt .



Definition:Semantik der Modallogik

In einem modallogischen Modell (mit einer punktweisen Wahrheitsbelegung ) definiert man die Gültigkeit von modallogischen Ausdrücken induktiv wie folgt: Es sei der modallogische Ausdruck schon für jeden Weltpunkt definiert. Dann setzt man für einen jeden Weltpunkt

genau dann, wenn in jeder von aus erreichbaren Welt die Beziehung

gilt.



Definition:Gültigkeit eines Ausdruck (Modallogik)

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck in einem modallogischen Modell gilt, geschrieben

wenn

für alle gilt.



Definition:Gültigkeit einer Ausdrucksmenge (Modallogik)

Man sagt, dass eine Menge von modallogischen Ausdrücken in einem modallogischen Modell gilt, geschrieben

wenn

für alle gilt.



Definition:Gültigkeit eines Ausdrucks (Modallogischer Rahmen)

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck in einem gerichteten Graphen gilt, geschrieben

wenn für jede Wahrheitsbelegung

gilt.



Definition:Folgerung (Modallogik)

Es sei eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ein modallogischer Ausdruck. Man sagt, dass aus folgt, geschrieben , wenn für jedes modallogische Modell mit

auch

gilt.



Definition:Universelles modallogisches Modell zu einem System

Es sei , , eine Menge von Aussagenvariablen und die zugehörige modallogische Sprache. Es sei eine - modallogische Ausdrucksmenge. Es sei die Menge aller umfassenden, (aussagenlogisch) maximal widerspruchsfreien Teilmengen

Auf definieren wir eine Erreichbarkeitsrelation durch

Wir nennen versehen mit dieser Relation und der durch , wenn , festgelegten Belegung das -universelle modallogische Modell .