Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Ist die Zahl, die den \anfuehrung{goldenen Schnitt}{} beschreibt, eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite \zusatzklammer {von Parallelogramm und Rechteck} {} {} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} und $r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt $Z$ und Radius $r$ konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {My Keyboard.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { My Keyboard.jpg } {Paree} {} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten \zusatzklammer {bei \anfuehrung{gleichstufiger Stimmung}{}} {} {} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {} die Potenz
\mathl{a^b}{} nicht konstruierbar sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} zwei \definitionsverweis {konstruierbare Punkte}{}{.} Zeige, dass dann auch der Abstand
\mathl{d(P,Q)}{} konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $P,Q_1,Q_2$ drei \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte derart, dass die Abstände \mathkor {} {d(P,Q_1)} {und} {d(P,Q_2)} {} gleich $1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden $90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {E=\R^2} {E=\R^2 } {} gibt, die \mathkor {} {0} {auf} {P} {,} \mathkor {} {1} {auf} {Q_1} {} und \mathkor {} {{ \mathrm i}} {auf} {Q_2} {} schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ re^{ { \mathrm i} \varphi} }
{ = }{ r \left( \cos \varphi , \, \sin \varphi \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist, wenn $r$ und $e^{ { \mathrm i} \varphi}$ konstruierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.

}
{} {}