Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 27

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass es in verschiedene -te Einheitswurzeln gibt.

Finde für primitive -te Einheitswurzeln in .


Aufgabe

Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
  2. Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .


Aufgabe

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom und beschreibe die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

in .


Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.


Aufgabe

Seien und . Zeige


Aufgabe *

Es sei und es sei die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ein Polynom. Zeige, dass (d.h., dass als Polynom in geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in .


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


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