Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den kleinen Fermat
direkt für die
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 2,3,5,7,11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(n)$ derart, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} davon nicht \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32}{} und $49$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{f(x)=x^7+2x^3 +3x+4 \in (\Z/(5))[x]}{.} Finde ein Polynom
\mathl{g(x) \in (\Z/(5))[x]}{} vom Grad $< 5$, das für alle Elemente aus
\mathl{\Z/(5)}{} mit
\mathl{f(x)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{\Q[X]/(X^3-2)}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist und bestimme das Inverse von
\mathl{4x^2-2x+5}{,} wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe einen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z/(d)}{} an, in dem es nichttriviale
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in
\mathl{\Q[X]/(X^2-1)}{} nichttriviale
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ sowohl
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
als auch
\definitionsverweis {idempotent}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $I, J$ Ideale in $R$. Es sei weiter \maabbeledisp {\varphi} {R } { R/I \times R/J } {r} { (r + I, r +J) } {.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $I + J = R$ gilt. Wie sieht $\ker \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle $R = \mathbb{Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {R/I \cap J} { R/I \times R/J
} {r} { (r,r)
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} {R/I \times R/J } {R/I +J
} {(s,t)} {s-t
} {.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, dass $\psi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ =} { \operatorname{kern} \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Sind
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien $a_1, \ldots ,a_n \in K$ verschiedene Elemente und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-a_1){ \cdots }(X-a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Produkt der zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Polynome}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$K[X]/(F)$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
$K^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21
}
{ =} { (X-7)(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21)
}
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder echte
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von ${\mathbb C}[X]$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
der Form
\mathdisp {{\mathbb C} \times \cdots \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m)} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Realisiere den
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathdisp {\R \times \R \times \R \times \R \times {\mathbb C} \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}} { }
als einen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{\R[X]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist und bestimme das Inverse von
\mathl{5x^2-x+7}{,} wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass auch $1-e$ idempotent ist und dass die \anfuehrung{zusammengesetzte}{}
\definitionsverweis {Restklassenabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {R} {R/(e) \times R/(1-e)
} {}
eine Bijektion ist.
}
{} {}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Wilson} {.}
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p-1)!
}
{ = }{-1 \!\!\! \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in
\definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{}
im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung
den Satz von Wilson.
}
{} {}