Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestätige den kleinen Fermat direkt für die Primzahlen ${}p=2,3,5,7,11$.

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe *

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe

Finde einen Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.

Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32$ und ${}49$ Elementen.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$. Finde ein Polynom ${}g(x)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$ vom Grad ${}<5$, das für alle Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}f(x)$ übereinstimmt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-2)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von ${}4x^{2}-2x+5$, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichne.

Aufgabe

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe

a) Zeige, dass ${}3$ im Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Primelement ist.

b) Bestimme die Charakteristik des Körpers ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)$.

c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körpers ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)$.

Aufgabe

Man gebe einen Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(d)$ an, in dem es nichttriviale idempotente Elemente gibt.

Aufgabe

Finde in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-1)$ nichttriviale idempotente Elemente.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$. Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ${}f=0$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\times S$ der Produktring ${}R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge ${}R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe mit dem Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon R\longrightarrow S_{i}$

für ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe und es seien ${}\varphi _{i}\colon R\rightarrow S_{i}$ surjektive Ringhomomorphismen. Es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon R\longrightarrow S_{1}\times \cdots \times S_{n}$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Es sei vorausgesetzt, dass die Elemente der Form ${}(1,0,\ldots ,0),(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1)$ zum Bild von ${}\varphi$ gehören. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I,J$ Ideale in ${}R$. Es sei weiter

$\varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}I+J=R$ gilt. Wie sieht ${}\operatorname {kern} \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${}R=\mathbb {Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}I,J\subseteq R$ Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),$

und

$\psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, dass ${}\psi$ surjektiv ist und dass

${}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,$

ist. Sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ Ringhomomorphismen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe *

Das Polynom ${}X^{3}-7X^{2}+3X-21$ besitzt in ${}\mathbb {R} [X]$ die Zerlegung

${}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(1,0)$ entspricht.

b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(0,1)$ entspricht.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von ${}{\mathbb {C} }[X]$ isomorph zu einem Produktring der Form

${\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})$

ist.

Aufgabe

Realisiere den Produktring

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$

als einen Restklassenring von ${}\mathbb {R} [X]$.

Aufgabe *

Es seien ${}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe und sei

${}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

   ein Ideal in ${}R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${}I\subseteq R$ die Form

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   mit Idealen ${}I_{j}\subseteq R_{j}$ besitzt.

3. Es sei

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${}I_{j}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${}R_{j}$ Hauptidealringe sind.

Der Foglenring ist ein Produktring mit unendlich vielen Faktoren. Man kann ihn auch als Spezialfall des Abbildungsringes im Sinne von Aufgabe 2.9 auffassen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Dieser Folgenring wird mit ${}K^{\mathbb {N} }$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in ${}K$ (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Es sei ${}k\in \mathbb {N}$ fixiert.

1. Zeige, dass

   ${}I_{k}={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid x_{k}=0\right\}}\,$

   ein Ideal in ${}K^{\mathbb {N} }$ ist.

2. Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

   $K\longrightarrow K^{\mathbb {N} }\longrightarrow K^{\mathbb {N} }/I_{k}$

   bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{\mathbb {N} }$ der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch

${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\,,$

falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ der Ring, der aus allen in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten, rationalen Folgen besteht.

1. Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in ${}R$ bildet.
2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow \mathbb {Q}$

   gibt.

3. Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus

   $\psi \colon R/N\longrightarrow \mathbb {Q}$

   gibt.

Die folgende Aufgabe fasst die wesentlichen Schritte der Konstruktion von ${}\mathbb {R}$ aus ${}\mathbb {Q}$ zusammen. Vergleiche Vorlesung 46 zum Grundkurs.

Aufgabe

1. Zu einem Körper ${}K$ sei ${}R=\operatorname {Folg} _{\rm {}}(K)$ die Menge der Folgen mit Werten in ${}K$. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
2. Es sei von nun an ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen ${}\operatorname {Folg} _{\rm {konv}}(K)$ einen Unterring von ${}R$ bildet.
3. Zeige im Fall ${}K=\mathbb {Q}$, dass die Menge ${}\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )$ der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
4. Betrachte nun die Menge ${}N$ der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass ${}N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn ${}x\cdot y\in N$ ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )\longrightarrow \mathbb {R}$

   derart, dass eine Ringisomorphie

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   entsteht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von ${}5x^{2}-x+7$, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichne.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass auch ${}1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)$

eine Bijektion ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Wilson.

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

a) Zeige, dass ${}7$ im Ring der Gaußschen Zahlen ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ein Primelement ist.

b) Bestimme die Charakteristik des Körpers ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(7)$.

c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körpers ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(7)$.