Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gibt es eine natürliche Zahl $n$, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $6$ den Rest $2$ besitzt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdrei{$3^{1234567}$, }{$2^{1234567}$, }{$5^{1234567}$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
In der Primfaktorzerlegung von $n$ kommt jeder Primfaktor mit Exponent $1$ vor.
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist
\definitionsverweis {reduziert}{}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
von
\definitionsverweis {Körpern}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten
}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten
}{}{}
in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $\Z/(100)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $n_R$ das Nilideal von $R$, das aus allen \definitionsverweis {nilpotenten Elementen}{}{} von $R$ besteht. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/n_R$ die \definitionswort {Reduktion}{} von $R$.
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{} und die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Werte der
\definitionsverweis {eulerschen Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{} für
\mathl{n \leq 20}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{a \in \N}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (a^n)}
}
{ =} { a^{n-1} {\varphi (a)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi (
\operatorname{kgV} (m,n))}
}
{ =} {{\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(4) \times \Z/(5) \times \Z/(11)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 3 \!\! \mod 4 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 10 \!\! \mod 11} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
Elemente, die
\definitionsverweis {idempotenten}{}{}
Elemente und die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den Rest von $11!$ modulo $91$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die
\definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,}
das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)}
}
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}