Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 16
- Übungsaufgaben
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Gibt es eine natürliche Zahl , die modulo den Rest und modulo den Rest besitzt?
Man berechne in die Elemente
- ,
- ,
- .
Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in .
Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .
a) Schreibe als Produktring
(im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt ?
c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von in .
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es sei ein kommutativer Ring und das Nilideal von , das aus allen nilpotenten Elementen von besteht. Dann nennt man den Restklassenring die Reduktion von .
Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .
Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme den Rest von modulo .
Aufgabe (4 Punkte)
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