Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe *

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe *

a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}9$ und ${}25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=0\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 9{\text{ und }}x=5\!\!\mod 25.$

Aufgabe

a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}3$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=1\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 3{\text{ und }}x=2\!\!\mod 7.$

Aufgabe

Gibt es eine natürliche Zahl ${}n$, die modulo ${}4$ den Rest ${}3$ und modulo ${}6$ den Rest ${}2$ besitzt?

Aufgabe *

Man berechne in ${}\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente

1. ${}3^{1234567}$,
2. ${}2^{1234567}$,
3. ${}5^{1234567}$.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ kommt jeder Primfaktor mit Exponent ${}1$ vor.
2. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist reduziert.
3. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist das Produkt von Körpern.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in ${}{\mathbb {Z} }/(72)$.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${}\mathbb {Z} /(100)$.

Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}n_{R}$ das Nilideal von ${}R$, das aus allen nilpotenten Elementen von ${}R$ besteht. Dann nennt man den Restklassenring ${}R/n_{R}$ die Reduktion von ${}R$.

Aufgabe

Beschreibe die nilpotenten Elemente von ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Reduktion von ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion ${}{\varphi (n)}$ für

${}n\leq 20\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ die Gleichheit

${}{\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,$

für ${}n\geq 1$ erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}d$ eine zu ${}10$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass die Periode der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{d}}$ unmittelbar nach dem Komma beginnt. Zeige ferner, dass dies nicht gilt, wenn ${}d$ und ${}10$ einen gemeinsamen Teiler haben.

Aufgabe *

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{77}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen ${}4$, ${}5$ und ${}11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(11)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=3\!\!\mod 4,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 5{\text{ und }}x=10\!\!\mod 11.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${}{\mathbb {Z} }/(60)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}11!$ modulo ${}91$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{221}}$.