Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Wir rekapitulieren die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Dies ist ein Spezialfall der in der Vorlesung besprochenen Konstruktion eines Quotientenkörpers zu einem Integritätsbereich.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }
a) Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b'
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M
} {z} { [ (z,1)]
} {.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
d) Definiere auf $M$
\zusatzklammer {aus Teil c} {} {}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
$+$ derart, dass
$M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2)
}
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn ${\mathfrak a}$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R} {K } {} in einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q(X)}{} die folgenden Ausdrücke.
\aufzaehlungdrei{Das Produkt
\mathdisp {{ \frac{ 2X^3-5X^2+X-1 }{ X^2-2X+6 } } \cdot { \frac{ X^2+3 }{ 5X^3-4X^2-7 } }} { . }
}{Die Summe
\mathdisp {{ \frac{ 4X^3-X^2+6X-2 }{ X^2-4X-3 } } + { \frac{ X^2-3 }{ 3X^2 +5 } }} { . }
}{Das Inverse von
\mathdisp {{ \frac{ 6X^3-9X^2+5X-1 }{ X^4-4X^3+3X^2-8X-3 } }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3X^4+2X^3+4X^2+1 }{ X^3+X+1 } }
}
{ =} { X^2+ 3X+ 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Funktion von
\mathl{\Z/(5)}{} nach
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der folgenden
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x } } \, , { \frac{ 1 }{ x-1 } } \, , { \frac{ 1 }{ x^2 } } \, , { \frac{ 1 }{ x(x-1) } } \, , { \frac{ x-1 }{ x^2 } } \, .} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine Wertetabelle für die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^2+4X+3 }{ X^3+X+2 } }
}
{ \in }{ { \left( \Z/(7) \right) } (X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \langle { \frac{ 2 }{ 3 } } , { \frac{ 4 }{ 5 } } \rangle
}
{ \subseteq} {(\Q,0,+)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die von
\mathkor {} {{ \frac{ 2 }{ 3 } }} {und} {{ \frac{ 4 }{ 5 } }} {}
erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \langle { \frac{ 1 }{ a } } , { \frac{ 1 }{ b } } \rangle
}
{ \subseteq} {(\Q,0,+)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die von
\mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ a } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ b } }} {}
erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ {\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) } } }}{} erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_T
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{3 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \{2,5 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ {\mathbb P}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$
\zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.}
Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { R
}
{ \subseteq} { \Z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb P}}{} die Menge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha} {{\mathbb P}} { \Z
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_\alpha
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q^{\times} \mid \operatorname{ exp}_{ p } ^{ } { \left( q \right) } \geq \alpha(p) \text{ für alle } p \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $(\Q,0,+)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Man gebe einen Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.
}
{} {}
Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.
Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
heißt \definitionswort {angeordnet}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
$\geq$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+c
}
{ \geq }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
} {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
erfüllt.
Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Q$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ \geq }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\Z$ gilt, definierten Beziehung ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
ist
\zusatzklammer {dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\Z$ verwendet werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Person $A$ wird $80$ Jahre alt und Person $B$ wird $70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten. \aufzaehlungzwei {$A$ schläft jede Nacht $7$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $8$ Stunden. } {$A$ schläft jede Nacht $8$ Stunden und $B$ schläft jede Nacht $7$ Stunden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe die Antworten als Bruch \zusatzklammer {bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß} {} {:} Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme einen Erzeuger für die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
$H \subseteq ( \Q,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{8}{7}, \, \frac{5}{11}, \, \frac{7}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { \langle { \frac{ a }{ b } } , { \frac{ c }{ d } } \rangle
}
{ \subseteq} {(\Q,0,+)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die von
\mathkor {} {{ \frac{ a }{ b } }} {und} {{ \frac{ c }{ d } }} {}
erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ von
\mathl{{ \frac{ \operatorname{ GgT}_{ } ^{ } { \left( a,c \right) } }{ \operatorname{ KgV}_{ } ^{ } { \left( b,d \right) } } }}{} erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mathbed {f \in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { up_1^{r_1} { \cdots } p_n^{r_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ganzzahligen Exponenten $r_i$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.
}
{Was bedeutet dies für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}