Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Wir rekapitulieren die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Dies ist ein Spezialfall der in der Vorlesung besprochenen Konstruktion eines Quotientenkörpers zu einem Integritätsbereich.

Aufgabe *

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}K$ ein Körper mit ${}R\subseteq K$. Zeige, dass dann auch ${}Q(R)\subseteq K$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} (X)$ die folgenden Ausdrücke.

1. Das Produkt

   ${\frac {2X^{3}-5X^{2}+X-1}{X^{2}-2X+6}}\cdot {\frac {X^{2}+3}{5X^{3}-4X^{2}-7}}.$

2. Die Summe

   ${\frac {4X^{3}-X^{2}+6X-2}{X^{2}-4X-3}}+{\frac {X^{2}-3}{3X^{2}+5}}.$

3. Das Inverse von

   ${\frac {6X^{3}-9X^{2}+5X-1}{X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-8X-3}}.$

Aufgabe

Zeige die Gleichheit

${}{\frac {3X^{4}+2X^{3}+4X^{2}+1}{X^{3}+X+1}}=X^{2}+3X+1\,$

als Funktion von ${}\mathbb {Z} /(5)$ nach ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

${\frac {1}{x}}\,,{\frac {1}{x-1}}\,,{\frac {1}{x^{2}}}\,,{\frac {1}{x(x-1)}}\,,{\frac {x-1}{x^{2}}}\,.$

Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle für die rationale Funktion ${}{\frac {X^{2}+4X+3}{X^{3}+X+2}}\in {\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}(X)$.

Aufgabe

Es sei

${}G=\langle {\frac {2}{3}},{\frac {4}{5}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$

die von ${}{\frac {2}{3}}$ und ${}{\frac {4}{5}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

${}G=\langle {\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$

die von ${}{\frac {1}{a}}$ und ${}{\frac {1}{b}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ von ${}{\frac {1}{\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}}$ erzeugt wird.

Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei ${}G\subseteq \mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

${}R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}\,$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Z} _{n}$ die Nenneraufnahme zu ${}n$ (${}\mathbb {Z} _{n}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${}R$ mit

${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${}n$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und

$\alpha \colon {\mathbb {P} }\longrightarrow \mathbb {Z}$

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

${}G_{\alpha }={\left\{q\in \mathbb {Q} ^{\times }\mid \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\geq \alpha (p){\text{ für alle }}p\right\}}\cup \{0\}\,$

eine Untergruppe von ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${}p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in R$,
2. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ für beliebige ${}a,b\in R$,

erfüllt.

Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ mit der durch ${}{\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls ${}ad\geq cb$ in ${}\mathbb {Z}$ gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf ${}\mathbb {Z}$ verwendet werden).

Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen ${}{\frac {3}{8}}$ und ${}{\frac {7}{8}}$ liegen.

Aufgabe *

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe *

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für die Untergruppe ${}H\subseteq (\mathbb {Q} ,+,0)$, die durch die rationalen Zahlen

${\frac {8}{7}},\,{\frac {5}{11}},\,{\frac {7}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

${}G=\langle {\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\rangle \subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)\,$

die von ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}G$ von ${}{\frac {\operatorname {GgT} _{}^{}{\left(a,c\right)}}{\operatorname {KgV} _{}^{}{\left(b,d\right)}}}$ erzeugt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Zeige, dass jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit ${}u\in R$ und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}a\in K$ ein Element mit ${}a^{n}\in R$ für eine natürliche Zahl ${}n\geq 1$. Zeige, dass dann schon ${}a$ zu ${}R$ gehört.

Was bedeutet dies für ${}R=\mathbb {Z}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ und ${}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.