Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im Körper $\Q[\sqrt{7}]$ das Produkt
\mathdisp {(-2 + \sqrt{7} ) \cdot (4- \sqrt{7})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 7 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $2 +5 \sqrt{ 7 }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Inverse}{}{}
von
\mathdisp {1
+\sqrt{2}
+3 \sqrt{10}} { }
im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$\Q[\sqrt{2}, \sqrt{5}]$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grad der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\R \subseteq {\mathbb C}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Zeige, dass dann
\mathl{K(f)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $K[f]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $K$ und $L$ Körper, sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei $A$,
\mathl{K \subseteq A \subseteq L}{,} ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung und $f \in L$ ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie \maabbdisp {} {K(X)} {K(f) } {} von Körpern vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {p} {und} {q} {} zwei verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass $\Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]$ ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $\R$ ist, der über $\Q$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} vier besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine Körpererweiterung
\mathl{\Q \subseteq L}{} vom Grad $n$ gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 11 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3 +5 \sqrt{ 11 }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+1+2+1)}
{
Betrachte den \definitionsverweis {Körper}{}{} $\Z/(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit $13$ Elementen.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist und folgere, dass
\mathdisp {\Z/(13)[X]/(X^2-5)=:\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }]} { }
ein Körper ist.
}{Betrachte die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathdisp {\Z/(13) \subset \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ]} { }
und berechne
\mathdisp {(2+3{\sqrt{ 5 } })(1+11{\sqrt{ 5 } } )(10+7{\sqrt{ 5 } } )} { }
}{Finde das Inverse zu $7+3{\sqrt{ 5 } }$ in $\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }]$.
}{Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist, dafür aber in $\Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ]$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Inverse}{}{}
von
\mathdisp {2
+3 \sqrt{5}
+\sqrt{7}
+3 \sqrt{35}} { }
im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathdisp {\sqrt{3}+ \sqrt{5}} { }
über $\Q$.
}
{} {}