Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Produkt

$(-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).$

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von ${}2+5{\sqrt {7}}$.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)$ das Inverse von ${}{\frac {1}{3}}x+5$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Bestimme das Inverse von

$1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}$

im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige, dass dann ${}K(f)$ der Quotientenkörper von ${}K[f]$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}K$ und ${}L$ Körper, sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}A$, ${}K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${}A$ ebenfalls ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}f\in L$ ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

$K(X)\longrightarrow K(f)$

von Körpern vorliegt.

Aufgabe

Es seien ${}p$ und ${}q$ zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]$ ein Unterkörper von ${}\mathbb {R}$ ist, der über ${}\mathbb {Q}$ den Grad vier besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von ${}K$ die Potenz einer Primzahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]$ das Inverse von ${}3+5{\sqrt {11}}$.

Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper ${}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit ${}13$ Elementen.

1. Zeige, dass ${}5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist und folgere, dass

   $\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$

   ein Körper ist.
2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   $\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$

   und berechne

   $(2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})$

3. Finde das Inverse zu ${}7+3{\sqrt {5}}$ in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.
4. Zeige, dass ${}-5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist, dafür aber in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

$2+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}+3{\sqrt {35}}$

im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}(\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}])[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{3}-(2+{\sqrt {3}})X^{2}+5{\sqrt {3}}X+1+2{\sqrt {3}}$ und ${}T={\sqrt {3}}X^{2}-X+2+7{\sqrt {3}}$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

${\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}$

über ${}\mathbb {Q}$.