Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subset }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfache}{}{,}
aber keine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren
\definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $K$. Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{} auf dem Einheitskreis liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass es in $K$
\mathl{p-1}{} verschiedene $(p-1)$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
gibt.
b) Finde für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 2,3,5,7,11,13,17,19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {primitive}{}{}
\mathl{(p-1)}{-}te Einheitswurzeln in $K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das sechste \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} $\Phi_{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von $X^6-1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Finde die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X^p -1 } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige folgende Aussagen.
a) Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ sind
$1,\, \epsilon= - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$ und $\eta = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$.
b) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon^2
}
{ = }{ \eta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \eta^2
}
{ = }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1+\epsilon + \epsilon^2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon + \epsilon^2
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{n-1} e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} j k }{ n } } }
}
{ =} { \begin{cases} n, \text{ falls } j \text{ ein Vielfaches von } n \text{ ist}, \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_n
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X^n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {d.h., dass $F$ als Polynom in $X^n$ geschrieben werden kann} {} {}
genau dann gilt, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \mu_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(zX)
}
{ =} {F(X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{} ungerade. Zeige, dass der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.gif} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }
\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {en.wikiversity.org} {PD} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(23)$.
}
{} {}