Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 27

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}K=\mathbb {Z} /(p)$.

a) Zeige, dass es in ${}K$ ${}p-1$ verschiedene ${}(p-1)$-te Einheitswurzeln gibt.

b) Finde für ${}p=2,3,5,7,11,13,17,19$ primitive ${}(p-1)$-te Einheitswurzeln in ${}K$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$.

Aufgabe

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von ${}X^{6}-1$.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{p}-1}}$

in ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

a) Die dritten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ sind ${}1,\,\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$ und ${}\eta =-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$.

b) Es ist ${}\epsilon ^{2}=\eta$ und ${}\eta ^{2}=\epsilon$.

c) Es ist ${}1+\epsilon +\epsilon ^{2}=0$.

d) Es ist ${}\epsilon +\epsilon ^{2}=-1$.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Aufgabe

Es seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}j\in \mathbb {Z}$. Zeige

${}\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }jk}{n}}={\begin{cases}n,{\text{ falls }}j{\text{ ein Vielfaches von }}n{\text{ ist}},\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}\mu _{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$ (d.h., dass ${}F$ als Polynom in ${}X^{n}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes ${}z\in \mu _{n}$ die Gleichheit

${}F(zX)=F(X)\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(23)$.