Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere, ob es sich bei
\mathdisp {n!, \, \binom { n } { k }, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\, \heartsuit} { }
um Terme handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf
\mathl{K[X]}{} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Produkt
\mathdisp {( 2X^3+4X+5) \cdot ( X^4+5 X^2+6 )} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Z/(7)[X]$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{n}-1
}
{ =} {(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3} + \cdots + X^2 + X +1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{.} Zeige, dass $S[X]$ ein Unterring von $R[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaft erfüllt.
\aufzaehlungdrei{$\operatorname{grad} \, (P+Q) \leq \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}$
}{$\operatorname{grad} \, (P \cdot Q) \leq \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)$
}{Wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist, so gilt in (2) die Gleichheit.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
$2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {Z^3-(2 i)Z^2+ 3iZ-(4 5i)} { }
in der neuen Variablen $W =Z+ 2-i$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in {\mathbb C}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) =1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Identität
\mathdisp {( X + Y )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } X^{k} Y^{n - k}} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z[X,Y]}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $r\in R$ ein \definitionsverweis {nilpotentes}{}{} Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Man gebe auch das \definitionsverweis {Inverse}{}{} dazu an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen \zusatzklammer {unabhängig vom Polynom} {} {} beschränkt ist.
}
{} {}