Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}K[X]$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom ${}1$ neutrales Element der Multiplikation ist.

Aufgabe

Berechne das Produkt

$(2X^{3}+4X+5)\cdot (X^{4}+5X^{2}+6)$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$.

Aufgabe

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

$((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).$

Aufgabe

Beweise die Formel

${}X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^{2}+X+1)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ ein Unterring. Zeige, dass ${}S[X]$ ein Unterring von ${}R[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}$
2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)$
3. Wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}-4X+7$

die Variable ${}X$ durch die komplexe Zahl ${}2-5{\mathrm {i} }$ ersetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^{3}+2X^{2}-3X+4$

in der neuen Variablen ${}U=X+2$.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$Z^{3}-(2{\mathrm {i} })Z^{2}+3{\mathrm {i} }Z-(45{\mathrm {i} })$

in der neuen Variablen ${}W=Z+2-{\mathrm {i} }$.

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt ${}200$ Euro, ein Meter Hecke kostet ${}30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet ${}1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.$

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe

Beweise die Identität

$(X+Y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X^{k}Y^{n-k}$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} [X,Y]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

${\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}r\in R$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in ${}R[X]$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 3$, für welches

$f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$

gilt.

Aufgabe (8 Punkte)

Zwei Personen ${}A$ und ${}B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ${}A$ ein Polynom ${}P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus ${}\mathbb {N}$ sein müssen. Person ${}B$ darf fragen, was der Wert ${}P(n_{1}),P(n_{2}),\ldots ,P(n_{r})$ zu gewissen natürlichen Zahlen ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}$ ist. Dabei darf ${}B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für ${}B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.