- Übungsaufgaben
Diskutiere, ob es sich bei
-
um Terme handelt.
Berechne das Produkt
-
im
Polynomring
.
Berechne im
Polynomring
das Produkt
-
Beweise die Formel
-
![{\displaystyle {}X^{n}-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^{2}+X+1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a3ebb12a62f31f64ef5ae369e50d3aed4ee2cc)
Es sei
ein
kommutativer Ring
und sei
der
Polynomring
über
. Zeige, dass der
Grad
folgende Eigenschaft erfüllt.
- Wenn
ein
Integritätsbereich
ist, so gilt in (2) die Gleichheit.
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable
durch die
komplexe Zahl
ersetzt.
Schreibe das
Polynom
-
in der neuen Variablen
.
Schreibe das
Polynom
-
in der neuen Variablen
.
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
-
![{\displaystyle {}ax^{2}+bx+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcf871b3f9c470a8e2db1156047185457ac3b86)
mit
,
.
In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?
Man finde ein
Polynom
-
![{\displaystyle {}f=a+bX+cX^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8049b64104867c582e007106c9abfb54ea2ce680)
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Man finde ein
Polynom
-
![{\displaystyle {}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15cb632f45ca47ff084ba7da6076d1323b9a529)
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Multipliziere in
die beiden Polynome
-
Multipliziere in
die beiden Polynome
-
Beweise die Identität
-
im
Polynomring
.
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne im
Polynomring
das Produkt
-
Beweise die Formel
-
![{\displaystyle {}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0952c155ede42e5fd084ed7988ac211fd7454c3e)
für
ungerade.
Man finde ein
Polynom
vom Grad
, für welches
-
gilt.
Zwei Personen
und
spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich
ein Polynom
aus, wobei alle Koeffizienten aus
sein müssen. Person
darf fragen, was der Wert
zu gewissen natürlichen Zahlen
ist. Dabei darf
diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für
, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen
(unabhängig vom Polynom)
beschränkt ist.