Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ = }{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {komplexer Torus}{}{}
der gemäß
Satz 12.13
und
Satz 12.14
einer
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
über ${\mathbb C}$ entspricht. Zeige, dass die $m$-Multiplikation
\maabbdisp {[m]} {E} {E
} {}
den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$m^2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit zugehörigem
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ \cong} { V_+(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die algebraische Realisierung des Torus als
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
im Sinne von
Satz 12.14.
Zeige, dass eine
\zusatzklammer {holomorphe} {} {}
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
auch eine
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
im algebraischen Sinn ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit den zugehörigen
\definitionsverweis {komplexen Tori}{}{}
${\mathbb C}/\Gamma_1, {\mathbb C}/\Gamma_2$. Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}/\Gamma_i
}
{ \cong} { V_+(F_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die algebraischen Realisierungen der Tori als
\definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{}
im Sinne von
Satz 12.14.
Zeige, dass eine
\zusatzklammer {holomorphe} {} {}
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}/\Gamma_1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2
} {}
auch eine
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
im algebraischen Sinn ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ \definitionsverweis {divisibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ (t-3)^2(t-1)^{-5}t^2(t+2)^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( K[X,Y] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ { \frac{ t }{ t^2+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( K[X,Y] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ { \frac{ Y }{ X } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( K[X,Y] \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sowie die affine Gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ =} { D_+(X) \cup \{ \infty\}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
mit dem globalen Schnittring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[ { \frac{ Y }{ X } } ]
}
{ =} { K[t]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[t]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt in ${\mathbb A}^{1}_{K}$ keine negative Ordnung
\zusatzklammer {keine Polstelle} {} {.}
}{Die Ordnung von einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[t]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\infty$ ist das Negative des Grades von $P$.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \sum_P n_P \cdot P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
Dann ist $D$ genau dann ein Hauptdivisor, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_P n_P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{V_+(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H,G
}
{ \in }{K[X,Y,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
vom Grad $d$. Es seien $G$ und $H$ keine Vielfache von $F$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ H }{ G } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige rationale Funktion im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
der Kurve. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C \cap V_+(G)
}
{ =} { \sum_P m_P P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C \cap V_+(H)
}
{ =} { \sum_P n_P P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $m_P$ bzw. $n_P$ die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
bezeichnen. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu $q$ auf $C$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( q \right) }
}
{ =} { \sum_P (m_P-n_P) P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Fermatkubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} {V_+(X^3+Y^3+Z^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
auf $E$ zur rationalen Funktion
\mathl{{ \frac{ X }{ Y } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {glatte Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ mit \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{} $Q(C)$. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { Q(C)^{\times} } { \operatorname{Div}\, (C) } {f} { \operatorname{div} { \left( f \right) } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} der \definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{K}$ über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ gleich $\Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(C)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Element im
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
$Q(C)$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {q} {C} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {.}
Zeige, dass zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {zurückgezogenen Divisoren}{}{}
\mathl{q^*(P)}{} untereinander
\definitionsverweis {linear äquivalent}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ eine \definitionsverweis {irreduzible}{}{} \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Zeige, dass durch den \definitionsverweis {Grad}{}{} eines Divisors eine natürliche Zerlegung der \definitionsverweis {Divisorengruppe}{}{} und der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} gegeben ist, wobei die Teile zueinander in \zusatzklammer {nach Wahl eines Punktes kanonischer} {} {} Bijektion stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} und \maabbdisp {[n]} {E} {E } {} die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Rückzugsabbildung der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) }} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) } } {D} { [n]^* D } {.}
}
{} {}