Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 14

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein komplexer Torus der gemäß Satz 12.13 und Satz 12.14 einer elliptischen Kurve über entspricht. Zeige, dass die -Multiplikation

den Grad besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Gitter in mit zugehörigem komplexen Torus . Es sei

die algebraische Realisierung des Torus als elliptische Kurve im Sinne von Satz 12.14. Zeige, dass eine (holomorphe) Isogenie auch eine Isogenie im algebraischen Sinn ist.


Aufgabe

Es seien Gitter in mit den zugehörigen komplexen Tori . Es seien

die algebraischen Realisierungen der Tori als elliptische Kurven im Sinne von Satz 12.14. Zeige, dass eine (holomorphe) Isogenie

auch eine Isogenie im algebraischen Sinn ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper divisibel ist.


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu auf der projektiven Geraden .


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu auf der projektiven Geraden mit für die Körper und .


Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade über einem Körper sowie die affine Gerade

mit dem globalen Schnittring

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Der Hauptdivisor zu einem Polynom besitzt in keine negative Ordnung (keine Polstelle).
  2. Die Ordnung von einem Polynom in ist das Negative des Grades von .
  3. Es sei und algebraisch abgeschlossen. Dann ist genau dann ein Hauptdivisor, wenn ist.


Aufgabe *

Es sei eine glatte projektive Kurve und seien homogene Polynome vom Grad . Es seien und keine Vielfache von und es sei die zugehörige rationale Funktion im Funktionenkörper der Kurve. Es sei

und

wobei bzw. die Schnittmultiplizitäten bezeichnen. Zeige, dass für den Hauptdivisor zu auf die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Wir betrachten die Fermatkubik

Bestimme den Hauptdivisor auf zur rationalen Funktion .


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit Funktionenkörper . Zeige, dass die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Divisorenklassengruppe der projektiven Geraden über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gleich ist.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ein nichtkonstantes Element im Funktionenkörper mit dem zugehörigen Morphismus

Zeige, dass zu jedem Punkt die zurückgezogenen Divisoren untereinander linear äquivalent sind.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zeige, dass durch den Grad eines Divisors eine natürliche Zerlegung der Divisorengruppe und der Divisorenklassengruppe gegeben ist, wobei die Teile zueinander in (nach Wahl eines Punktes kanonischer) Bijektion stehen.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve und

die Multiplikation mit auf . Beschreibe die zugehörige Rückzugsabbildung der Divisorenklassengruppe



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