Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das keine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
in $R$ besitze. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r
}
{ \in }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathdisp {Y^2+rY+s -X^3-aX^2-bX-c} { }
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r,s,a,b,c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in
\mathl{K[X,Y]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^2 +V
}
{ =} {U^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die nach
Aufgabe 5.9
die gleiche
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q$ definieren, den
\definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{}
für die Primzahlen $p$ mit
\definitionsverweis {schlechter Reduktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} endlich viele
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{.}
Bestimme für jede Primzahl den
\definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{}
der
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{,}
die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3- p_1 \cdots p_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {(X-a)(X-b)(X-c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschieden gegeben und sei $E$ die zugehörige
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{$E$ besitzt modulo einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ genau dann
\definitionsverweis {schlechte Reduktion}{}{,}
wenn $p$ ein Teiler des Produktes
\mathl{(a-b)(a-c)(b-c)}{} ist.
}{$E$ besitzt modulo $p$ genau dann
\definitionsverweis {additive Reduktion}{}{,}
wenn $p$ ein
\definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{}
von
\mathl{a-b,a-c,b-c}{} ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $p$ ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist.
}{Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn
\mathl{a-b,a-c,b-c}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für jede Primzahl den
\definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{}
der
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{,}
die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3- 2X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { X^3+2X-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über verschiedenen Körpern $K$.
\aufzaehlungfuenf{Zerlege das Polynom $X^3+2X-3$ in $\Q[X]$ in irreduzible Faktoren.
}{Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
}{Zerlege das Polynom $X^3+2X-3$ in ${\mathbb C} [X]$ in irreduzible Faktoren.
}{Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\Z/(p)$ ergibt.
}{Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { X^3+3X-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über verschiedenen Körpern $K$.
\aufzaehlungfuenf{Zerlege das Polynom $X^3+3X-4$ in $\Q[X]$ in irreduzible Faktoren.
}{Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
}{Zerlege das Polynom $X^3+3X-4$ in ${\mathbb C} [X]$ in irreduzible Faktoren.
}{Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\Z/(p)$ ergibt.
}{Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion
}
}
{} {}
Die folgenden beiden Aufgaben erläutern, warum man von additiver Reduktion spricht.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( s , \, s^3 \right) ,\, \left( t , \, t^3 \right) ,\, \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer Gerade liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V_+(Y^2Z-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (0,0,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der einzige
\definitionsverweis {singuläre Punkt}{}{}
der Kurve ist.
}{Zeige, dass man auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} wie im elliptischen Fall
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak O }
}
{ = }{(0,1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als neutralem Element} {} {}
eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Normalisierungsabbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { C \subseteq {\mathbb P}^{2}_{K}
} { (u,v) } { (u^2v,u^3, v^3)
} {,}
bijektiv ist.
}{Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 26.9,
dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ =} { D_+(v)
}
{ =} { {\mathbb P}^{1}_{K} \setminus \{ (0,1 )\}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
zwischen
\mathkor {} {{\mathbb A}^{1}_{K}} {und} {C \setminus \{P\}} {}
definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{r+1}
}
{ =} { ax_r+ bx_{r-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei $c_r$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $c_0,c_1$ und $d_r$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $d_0, d_1$. Zeige, dass die Differenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_r
}
{ = }{ c_r-d_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Z$ mit
\definitionsverweis {guter Reduktion}{}{}
modulo einer Primzahl $p$. Es seien $a_{p^r}$ die in der
Definition 26.10
rekursiv definierten Zahlen und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^r}
}
{ \defeq} { p^r + 1 - { \# \left( E_p( {\mathbb F}_{ p^r } ) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Differenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_r
}
{ = }{ b_{p^r}-a_{p^r}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Rekursion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{r+1}
}
{ =} { a_p f_{r} - pf_{r-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Koeffizienten $a_{p^r}$ seien durch die Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p
}
{ = }{a_p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch die Rekursionsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{p^{r+1} }
}
{ =} { a_p \cdot a_{p^r} - p \cdot a_{p^{r-1} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{p^r}
}
{ =} { \begin{cases} 0 \text{ bei } r \text { ungerade} , \\ (-p)^{r/2} \text { bei } r \text { gerade}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird eine $L$-Reihe betrachtet, die zu einer elliptischen Kurve gehören würde, die für jede Primzahl gute Reduktion hat und wo stets die Anzahl der $\Z/(p)$-rationalen Punkte gleich $p+1$ ist. Eine solche Kurve gibt es zwar nicht, eine solche $L$-Reihe gibt es natürlich trotzdem.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Primzahlen $p$. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Dirichletreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(s)
}
{ =} { \sum a_n n^{-s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\definitionsverweis {multiplikativen}{}{}
Koeffizienten $a_n$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 26.13,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(s)
}
{ =} { \sum_{k \in \N_+} \lambda (k) k^{1-2s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda(k)
}
{ =} { \begin{cases} 1 ,\text{ falls die Anzahl aller Primfaktoren von } k \text{ gerade ist}, \\ -1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ \ell = 0}^\infty (a+bt)^\ell t^\ell
}
{ =} { \sum_m c_m t^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_m
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_1
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Rekursionsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{m+1}
}
{ =} { a c_m + b c_{m-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei vorausgesetzt, dass die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} }}{} leer ist. Zeige, dass dann auch die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32 z^2 = n \right\} }}{} leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die ungeraden quadratfreien
\definitionsverweis {kongruenten Zahlen}{}{}
$n$ unterhalb von $32$, das sind die Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 5,7,13, 15,21,23, 29,31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} }}{} leer ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen $n$ unterhalb von $32$, die nicht
\definitionsverweis {kongruent}{}{}
sind, die Anzahlbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( { \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} } \right) }
}
{ =} { 2 \cdot { \# \left( { \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32 z^2 = n \right\} } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Mengen
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 37 \right\} }}{} und
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 39 \right\} }}{} leer sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 41 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
} {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 41 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 51 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
} {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 51 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 65 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
} {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 65 \right\} }}{} und ihre Anzahl.
}
}
{} {}