Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 26

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}r\in R$ ein Element, das keine Quadratwurzel in ${}R$ besitze. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-r\in R[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass ein Polynom der Form

$Y^{2}+rY+s-X^{3}-aX^{2}-bX-c$

(mit ${}r,s,a,b,c\in K$) irreduzibel in ${}K[X,Y]$ ist.

Aufgabe

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen

${}Y^{2}=X^{3}+16\,$

und

${}V^{2}+V=U^{3}\,,$

die nach Aufgabe 5.9 die gleiche elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ definieren, den Reduktionstyp für die Primzahlen ${}p$ mit schlechter Reduktion.

Aufgabe

Es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ endlich viele Primzahlen. Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung ${}Y^{2}=X^{3}-p_{1}\cdots p_{n}$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei eine Gleichung der Form

${}Y^{2}=(X-a)(X-b)(X-c)\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ verschieden gegeben und sei ${}E$ die zugehörige elliptische Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}E$ besitzt modulo einer Primzahl ${}p$ genau dann schlechte Reduktion, wenn ${}p$ ein Teiler des Produktes ${}(a-b)(a-c)(b-c)$ ist.
2. ${}E$ besitzt modulo ${}p$ genau dann additive Reduktion, wenn ${}p$ ein gemeinsamer Teiler von ${}a-b,a-c,b-c$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}p$ ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist.
3. Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn ${}a-b,a-c,b-c$ teilerfremd sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind.

Aufgabe *

Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung ${}Y^{2}=X^{3}-2X$ gegeben ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+2X-3\,$

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern ${}K$.

1. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+2X-3$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
3. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+2X-3$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
4. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ sich keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion

Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+3X-4\,$

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern ${}K$.

1. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ in irreduzible Faktoren.
2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
3. Zerlege das Polynom ${}X^{3}+3X-4$ in ${}{\mathbb {C} }[X]$ in irreduzible Faktoren.
4. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ sich keine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$ ergibt.
5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion

Die folgenden beiden Aufgaben erläutern, warum man von additiver Reduktion spricht.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}s,t\in K$. Zeige, dass die drei Punkte ${}\left(s,\,s^{3}\right),\,\left(t,\,t^{3}\right),\,\left(-(s+t),\,-(s+t)^{3}\right)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ auf einer Gerade liegen.

Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve

${}C=V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass ${}P=(0,0,1)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass man auf ${}C\setminus \{P\}$ wie im elliptischen Fall (mit ${}{\mathfrak {O}}=(0,1,0)$ als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
3. Zeige, dass die Normalisierungsabbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v,u^{3},v^{3}),$

   bijektiv ist.

4. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.9, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf

   ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}=D_{+}(v)={\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus \{(0,1)\}\,$

   einen Gruppenisomorphismus zwischen ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}C\setminus \{P\}$ definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b\in {\mathbb {C} }$ und es sei

${}x_{r+1}=ax_{r}+bx_{r-1}\,$

die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei ${}c_{r}$ die zugehörige Folge zu den Startwerten ${}c_{0},c_{1}$ und ${}d_{r}$ die zugehörige Folge zu den Startwerten ${}d_{0},d_{1}$. Zeige, dass die Differenzen ${}f_{r}=c_{r}-d_{r}$ ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z}$ mit guter Reduktion modulo einer Primzahl ${}p$. Es seien ${}a_{p^{r}}$ die in der Definition 26.10 rekursiv definierten Zahlen und es seien

${}b_{p^{r}}:=p^{r}+1-{\#\left(E_{p}({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}\,.$

Zeige, dass die Differenzen ${}f_{r}=b_{p^{r}}-a_{p^{r}}$ die Rekursion

${}f_{r+1}=a_{p}f_{r}-pf_{r-1}\,$

mit ${}f_{0}=1$ und ${}f_{1}=0$ erfüllen.

Aufgabe

Die Koeffizienten ${}a_{p^{r}}$ seien durch die Anfangsbedingungen ${}a_{1}=1$, ${}a_{p}=a_{p}$ und für ${}r\geq 2$ durch die Rekursionsbedingung

${}a_{p^{r+1}}=a_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot a_{p^{r-1}}\,$

definiert. Zeige, dass bei ${}a_{p}=0$ die Beschreibung

${}a_{p^{r}}={\begin{cases}0{\text{ bei }}r{\text{ ungerade}},\\(-p)^{r/2}{\text{ bei }}r{\text{ gerade}},\end{cases}}\,$

gilt.

In der folgenden Aufgabe wird eine ${}L$-Reihe betrachtet, die zu einer elliptischen Kurve gehören würde, die für jede Primzahl gute Reduktion hat und wo stets die Anzahl der ${}\mathbb {Z} /(p)$-rationalen Punkte gleich ${}p+1$ ist. Eine solche Kurve gibt es zwar nicht, eine solche ${}L$-Reihe gibt es natürlich trotzdem.

Aufgabe *

Es sei ${}a_{1}=1$ und ${}a_{p}=0$ für alle Primzahlen ${}p$. Wir betrachten die Dirichletreihe

${}L(s)=\sum a_{n}n^{-s}\,$

zu multiplikativen Koeffizienten ${}a_{n}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.13, dass

${}L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k^{1-2s}\,$

ist, wobei

${}\lambda (k)={\begin{cases}1,{\text{ falls die Anzahl aller Primfaktoren von }}k{\text{ gerade ist}},\\-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

bezeichnet.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b\in {\mathbb {C} }$. Wir schreiben

${}\sum _{\ell =0}^{\infty }(a+bt)^{\ell }t^{\ell }=\sum _{m}c_{m}t^{m}\,$

mit ${}c_{m}\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen ${}c_{0}=1$, ${}c_{1}=a$ und die Rekursionsbedingung

${}c_{m+1}=ac_{m}+bc_{m-1}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und es sei vorausgesetzt, dass die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}$ leer ist. Zeige, dass dann auch die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n\right\}}$ leer ist.

Aufgabe

Zeige, dass für die ungeraden quadratfreien kongruenten Zahlen ${}n$ unterhalb von ${}32$, das sind die Zahlen

${}n=5,7,13,15,21,23,29,31\,,$

die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}$ leer ist.

Aufgabe

Überprüfe, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen ${}n$ unterhalb von ${}32$, die nicht kongruent sind, die Anzahlbedingung

${}{\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n\right\}}\right)}=2\cdot {\#\left({\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n\right\}}\right)}\,$

nicht gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Mengen ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=37\right\}}$ und ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=39\right\}}$ leer sind.

Aufgabe *

1. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41\right\}}$ und ihre Anzahl.

Aufgabe

1. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=51\right\}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=51\right\}}$ und ihre Anzahl.

Aufgabe

1. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=65\right\}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=65\right\}}$ und ihre Anzahl.