Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 26

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass ein Polynom der Form

(mit ) irreduzibel in ist.


Aufgabe

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen

und

die nach Aufgabe 5.9 die gleiche elliptische Kurve über definieren, den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion.


Aufgabe

Es seien endlich viele Primzahlen. Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung gegeben ist.


Aufgabe

Es sei eine Gleichung der Form

mit verschieden gegeben und sei die zugehörige elliptische Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. besitzt modulo einer Primzahl genau dann schlechte Reduktion, wenn ein Teiler des Produktes ist.
  2. besitzt modulo genau dann additive Reduktion, wenn ein gemeinsamer Teiler von ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist.
  3. Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn teilerfremd sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind.


Aufgabe *

Bestimme für jede Primzahl den Reduktionstyp der elliptischen Kurve, die durch die Gleichung gegeben ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .

  1. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
  3. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  4. Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
  5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion


Aufgabe *

Wir betrachten die durch die Gleichung

gegebene elliptische Kurve über verschiedenen Körpern .

  1. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  2. Skizziere den reellen Verlauf der Kurve.
  3. Zerlege das Polynom in in irreduzible Faktoren.
  4. Bestimme, für welche Primzahlen sich keine elliptische Kurve über ergibt.
  5. Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion


Die folgenden beiden Aufgaben erläutern, warum man von additiver Reduktion spricht.

Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien . Zeige, dass die drei Punkte auf einer Gerade liegen.


Aufgabe

Wir betrachten die ebene projektive Kurve

über einem Körper .

  1. Zeige, dass der einzige singuläre Punkt der Kurve ist.
  2. Zeige, dass man auf wie im elliptischen Fall (mit als neutralem Element) eine Gruppenverknüpfung definieren kann.
  3. Zeige, dass die Normalisierungsabbildung

    bijektiv ist.

  4. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.9, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf

    einen Gruppenisomorphismus zwischen und definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist.


Aufgabe *

Es seien und es sei

die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei die zugehörige Folge zu den Startwerten und die zugehörige Folge zu den Startwerten . Zeige, dass die Differenzen ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen.


Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über mit guter Reduktion modulo einer Primzahl . Es seien die in der Definition 26.10 rekursiv definierten Zahlen und es seien

Zeige, dass die Differenzen die Rekursion

mit und erfüllen.


Aufgabe

Die Koeffizienten seien durch die Anfangsbedingungen , und für durch die Rekursionsbedingung

definiert. Zeige, dass bei die Beschreibung

gilt.


In der folgenden Aufgabe wird eine -Reihe betrachtet, die zu einer elliptischen Kurve gehören würde, die für jede Primzahl gute Reduktion hat und wo stets die Anzahl der -rationalen Punkte gleich ist. Eine solche Kurve gibt es zwar nicht, eine solche -Reihe gibt es natürlich trotzdem.

Aufgabe *

Es sei und für alle Primzahlen . Wir betrachten die Dirichletreihe

zu multiplikativen Koeffizienten . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.13, dass

ist, wobei

bezeichnet.


Aufgabe *

Es seien . Wir schreiben

mit . Zeige, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen , und die Rekursionsbedingung

erfüllt.


Aufgabe

Es sei und es sei vorausgesetzt, dass die Menge leer ist. Zeige, dass dann auch die Menge leer ist.


Aufgabe

Zeige, dass für die ungeraden quadratfreien kongruenten Zahlen unterhalb von , das sind die Zahlen

die Menge leer ist.


Aufgabe

Überprüfe, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen unterhalb von , die nicht kongruent sind, die Anzahlbedingung

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Mengen und leer sind.


Aufgabe *

  1. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
  2. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.


Aufgabe

  1. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
  2. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.


Aufgabe

  1. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.
  2. Bestimme die Menge und ihre Anzahl.



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