Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf der
\definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{}
${\mathbb H}$. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {schwach modular}{}{}
vom Gewicht $k$ ist, wenn sie die beiden Bedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z+1)
}
{ = }{ f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(- { \frac{ 1 }{ z } } )
}
{ = }{ z^k f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {Modulfunktion}{}{}
vom Gewicht $k$ und
\maabb {g} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} {}
eine Modulfunktion vom Gewicht $\ell$. Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ f }{ g } }}{} eine Modulfunktion vom Gewicht $k-\ell$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Exponentialfunktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C}
} {z} { e^{2 \pi { \mathrm i} z }
} {,}
zu keinem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {schwach modular}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
des
\definitionsverweis {Fundamentalbereiches}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb H}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur
\definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{}
unter der Exponentialfunktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{ 0 \}
} {z} { e^{2 \pi z { \mathrm i} }
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Index}{}{} der \definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{} zur Stufe $2$, also $\Gamma(2)$, in der vollen \definitionsverweis {Modulgruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme auf zwei Arten ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ für die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \Gamma(2)}{} zur
\definitionsverweis {Hauptkongruenzuntergruppe}{}{}
zur Stufe $2$.
\aufzaehlungzwei {Durch Angabe von Matrizen.
} {Als Kombination der beiden Erzeuger
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$
\zusatzklammer {vergleiche
Satz 9.2} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme auf zwei Arten ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ für die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \Gamma(3)}{} zur
\definitionsverweis {Hauptkongruenzuntergruppe}{}{}
zur Stufe $3$.
\aufzaehlungzwei {Durch Angabe von Matrizen.
} {Als Kombination der beiden Erzeuger
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$
\zusatzklammer {vergleiche
Satz 9.2} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
\zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_{ q } \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass es zu je zwei vom Nullvektor verschiedenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v
}
{ \in }{ \Z/(p) \times \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{Mu
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) }}{} von den Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbdisp {} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } } {\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) } } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
in den folgenden Aufgaben kann es einfacher sein, sich auf eine Primzahl $N$ zu beschränken.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Index}{}{}
der Untergruppe $\Gamma(N)$ in $\Gamma_1(N)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Index}{}{}
der Untergruppe $\Gamma_1(N)$ in $\Gamma (N)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Index}{}{}
der Untergruppe $\Gamma_0(N)$ in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $u,v$ eine reelle
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb C}$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
$\Lambda$ und dem zugehörigen
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C} /\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis.
Zeige, dass ${ \frac{ v }{ N } }$ und ${ \frac{ v' }{ N } }$ genau dann die gleiche Untergruppe von ${\mathbb C}/\Lambda$ der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$N$ definieren, wenn $M$ zur
\definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{}
$\Gamma_0(N)$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $u,v$ eine reelle
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb C}$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
$\Lambda$ und dem zugehörigen
\definitionsverweis {komplexen Torus}{}{}
${\mathbb C} /\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis.
Zeige, dass ${ \frac{ v }{ N } }$ und ${ \frac{ v' }{ N } }$ genau dann das gleiche $N$-Torsionselement von ${\mathbb C}/\Lambda$ definieren, wenn $M$ zur
\definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{}
$\Gamma_1(N)$ gehört.
}
{} {}