Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 27

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$. Zeige, dass ${}f$ genau dann schwach modular vom Gewicht ${}k$ ist, wenn sie die beiden Bedingungen ${}f(z+1)=f(z)$ und ${}f(-{\frac {1}{z}})=z^{k}f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {H} }$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Modulfunktion vom Gewicht ${}k$ und ${}g\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Modulfunktion vom Gewicht ${}\ell$. Zeige, dass ${}{\frac {f}{g}}$ eine Modulfunktion vom Gewicht ${}k-\ell$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }z},$

zu keinem ${}k\in \mathbb {Z}$ schwach modular ist.

Aufgabe

Skizziere das Bild des Fundamentalbereiches ${}D\subseteq {\mathbb {H} }$ zur Modulsubstitution unter der Exponentialfunktion

${\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\},\,z\longmapsto e^{2\pi z{\mathrm {i} }}.$

Aufgabe

Bestimme den Index der Kongruenzuntergruppe zur Stufe ${}2$, also ${}\Gamma (2)$, in der vollen Modulgruppe.

Aufgabe *

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ für die Restklassengruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (2)$ zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe ${}2$.

1. Durch Angabe von Matrizen.
2. Als Kombination der beiden Erzeuger ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ (vergleiche Satz 9.2).

Aufgabe

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ für die Restklassengruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (3)$ zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe ${}3$.

1. Durch Angabe von Matrizen.
2. Als Kombination der beiden Erzeuger ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ (vergleiche Satz 9.2).

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper. Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass es zu je zwei vom Nullvektor verschiedenen Elementen ${}u,v\in \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$ eine Matrix ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$ mit ${}v=Mu$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$ von den Matrizen ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}$

surjektiv ist.

in den folgenden Aufgaben kann es einfacher sein, sich auf eine Primzahl ${}N$ zu beschränken.

Aufgabe

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe ${}\Gamma (N)$ in ${}\Gamma _{1}(N)$.

Aufgabe

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe ${}\Gamma _{1}(N)$ in ${}\Gamma (N)$.

Aufgabe

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Bestimme den Index der Untergruppe ${}\Gamma _{0}(N)$ in ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei ${}u,v$ eine reelle Basis von ${}{\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter ${}\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$. Es sei ${}u',v'$ die mit ${}M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${}{\frac {v}{N}}$ und ${}{\frac {v'}{N}}$ genau dann die gleiche Untergruppe von ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$ der Ordnung ${}N$ definieren, wenn ${}M$ zur Kongruenzuntergruppe ${}\Gamma _{0}(N)$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei ${}u,v$ eine reelle Basis von ${}{\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter ${}\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$. Es sei ${}u',v'$ die mit ${}M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${}{\frac {v}{N}}$ und ${}{\frac {v'}{N}}$ genau dann das gleiche ${}N$-Torsionselement von ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$ definieren, wenn ${}M$ zur Kongruenzuntergruppe ${}\Gamma _{1}(N)$ gehört.