Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 27

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine meromorphe Funktion auf der oberen Halbebene . Zeige, dass genau dann schwach modular vom Gewicht ist, wenn sie die beiden Bedingungen und für alle erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine Modulfunktion vom Gewicht und eine Modulfunktion vom Gewicht . Zeige, dass eine Modulfunktion vom Gewicht ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Exponentialfunktion

zu keinem schwach modular ist.


Aufgabe

Skizziere das Bild des Fundamentalbereiches zur Modulsubstitution unter der Exponentialfunktion


Aufgabe

Bestimme den Index der Kongruenzuntergruppe zur Stufe , also , in der vollen Modulgruppe.


Aufgabe *

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in für die Restklassengruppe zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe .

  1. Durch Angabe von Matrizen.
  2. Als Kombination der beiden Erzeuger und von (vergleiche Satz 9.2).


Aufgabe

Bestimme auf zwei Arten ein Repräsentantensystem in für die Restklassengruppe zur Hauptkongruenzuntergruppe zur Stufe .

  1. Durch Angabe von Matrizen.
  2. Als Kombination der beiden Erzeuger und von (vergleiche Satz 9.2).


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass es zu je zwei vom Nullvektor verschiedenen Elementen eine Matrix mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass von den Matrizen und erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass die natürliche Abbildung

surjektiv ist.


in den folgenden Aufgaben kann es einfacher sein, sich auf eine Primzahl zu beschränken.

Aufgabe

Es sei . Bestimme den Index der Untergruppe in .


Aufgabe

Es sei . Bestimme den Index der Untergruppe in .


Aufgabe

Es sei . Bestimme den Index der Untergruppe in .


Aufgabe

Es sei eine positive natürliche Zahl. Es sei und sei eine reelle Basis von mit dem zugehörigen Gitter und dem zugehörigen komplexen Torus . Es sei die mit transformierte Basis. Zeige, dass und genau dann die gleiche Untergruppe von der Ordnung definieren, wenn zur Kongruenzuntergruppe gehört.


Aufgabe

Es sei eine positive natürliche Zahl. Es sei und sei eine reelle Basis von mit dem zugehörigen Gitter und dem zugehörigen komplexen Torus . Es sei die mit transformierte Basis. Zeige, dass und genau dann das gleiche -Torsionselement von definieren, wenn zur Kongruenzuntergruppe gehört.



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