Kurs:Fundamentalgruppe und Vektorbündel (Osnabrück 2011)/Vorlesung 2/latex

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\zwischenueberschrift{Etale Fundamentalgruppe}

Zu einem Schema $X$ kann man die Kategorie aller endlichen \'{e}talen Morphismen \maabb {} {Y} {X } {} betrachten, wobei jeder Morphismus in dieser Kategorie die Basis $X$ festlässt. Die Idee ist dabei, die \anfuehrung{universelle Überlagerung}{,} die es im algebraischen Kontext nicht gibt, durch das System aller endlichen Überlagerungen anzunähern.

Sei $X$ eine komplexe Mannigfaltigkeit oder allgemeiner ein topologischer Raum. Die universelle Überlagerung \maabbdisp {p} {\tilde{X}} {X } {} hat die Eigenschaft, dass die Automorphismengruppe von $\tilde{X}$ über $X$, also die Menge der \definitionsverweis {Homöomorphismen}{}{} \zusatzklammer {Decktransformationen} {} {} \maabbdisp {\psi} {\tilde{X}} {\tilde{X} } {,} die mit $p$ kommutieren, unter schwachen Bedingungen mit der topologischen Fundamentalgruppe von $X$ übereinstimmt. Dies beruht auf der folgenden Konstruktion: Es sei \maabbdisp {p} {Y} {X } {} eine Überlagerung und
\mathl{x \in X}{} ein Punkt. Die Faser von $p$ über $x$ sei mit $F$ bezeichnet. Dann gibt es eine natürliche Operation \zusatzklammer {die sogenannte \stichwort {Monodromie} {}} {} {} der topologischen Fundamentalgruppe
\mathl{\pi_1(X,x)}{} auf $F$. Einem stetigen Weg \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X } {} mit $x$ als Start- und Zielpunkt und einem Punkt
\mathl{y \in F}{} der Faser wird der eindeutig bestimmte Endpunkt des gelifteten Weges
\mathl{\tilde{\gamma}}{} zugeordnet, der im Punkt $y$ startet \zusatzklammer {siehe hierzu auch Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Vorlesung 17} {} {.} Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {\pi_1(X,x)} { \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( F \right) } } {\gamma} { (y \mapsto \tilde{\gamma} (1) ) } {} bzw. einer \definitionsverweis {Operation}{}{} von
\mathl{\pi_1(X,x)}{} auf $F$. Diese Zuordnung ist für $X$ zusammenhängend injektiv, da generell für einen zusammenhängenden topologischen Raum $Z$ \zusatzklammer {z.B. $X$ selbst, oder $Y$, oder das Einheitsintervall} {} {} und einer stetigen Abbildung \maabbdisp {\gamma} {Z} {X } {} zwei Liftungen \maabbdisp {f_1,f_2} {Z} {Y } {} mit
\mathl{f_1(z) = f_2(z)}{} für einen einzelnen Punkt
\mathl{z \in Z}{} schon
\mathl{f_1=f_2}{} gelten muss.

Dieser Gruppenhomomorphismus ist nur in Ausnahmefällen surjektiv. Es muss im Allgemeinen auch keinen Automorphismus geben, der einen Punkt der Faser in einen anderen Punkt der Faser überführt. Diese Eigenschaft führt vielmehr zur folgenden Definition.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabbdisp {p} {Y} {X } {} heißt \stichwort {normal} {,} wenn es zu jedem Punkt
\mathl{x \in X}{} und jedem Punktepaar
\mathl{y_1,y_2 \in p^{-1}(x)}{} eine \definitionsverweis {Decktransformation}{}{} \maabbdisp {\varphi} {Y} {Y } {} gibt mit
\mathl{\varphi(y_1)= y_2}{.}

}

Eine normale Überlagerung ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Gruppe der Decktransformationen transitiv auf einer jeden Faser operiert. Jeder Punkt
\mathl{y_1 \in F}{} in einer Faser $F$ definiert eine Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{ Aut}_{ X } ^{ } { \left( Y \right) } } {F } {\psi} { \psi (y_1) } {,} die stets injektiv und im normalen Fall auch bijektiv ist.

Es ist eine wichtige Eigenschaft von Überlagerungen, dass man zu einer normalen Überlagerung übergehen kann. Diese topologische Eigenschaft ist analog dazu, dass man separable Körpererweiterungen in eine Galoiserweiterung \zusatzklammer {\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}} {} {} einbetten kann.






\zwischenueberschrift{Liftungseigenschaften von \'{e}talen Abbildungen und Galoiserweiterungen}

Die beiden oben in Erinnerung gerufenen Eigenschaften von topologischen Überlagerungen, nämlich die eindeutige Liftungseigenschaft und die Normalität, kommen auch im Kontext der algebraischen Geometrie vor.




\inputfakt{Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt}{Lemma}{} {

\faktsituation {Sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und sei \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} eine étaler Schemamorphismus. Es sei \maabbdisp {s} {X} {Y } {} ein \definitionsverweis {Schnitt}{}{} zu $\varphi$.}
\faktfolgerung {Dann ist $s$ eine offene Einbettung. Wenn $\varphi$ zusätzlich separiert ist, so ist $s$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}




\inputfakt{Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Schnitt/Punkt bestimmt/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und sei \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei
\mathl{x \in X}{} ein Punkt und es seien \maabbdisp {s_1,s_2} {X} {Y } {} \definitionsverweis {Schnitte}{}{} zu $\varphi$ mit
\mathl{s_1(x)=s_2(x)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $s_1=s_2$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}




\inputfakt{Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} ein separierter und étaler Schemamorphismus. Es sei
\mathl{Z}{} ein zusammenhängendes Schema über $X$ und seien \maabbdisp {f_1,f_2} {Z} {Y } {} $X$-Morphismen}
\faktvoraussetzung {mit
\mathl{f_1(z)=f_2(z)=y}{} für einen Punkt
\mathl{z \in Z}{} derart, dass auch die zugehörigen Körperhomomorphismen \maabbdisp {f_1,f_2} {\kappa (y) } { \kappa (z) } {} identisch sind.}
\faktfolgerung {Dann ist $f_1=f_2$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}

Ein endlicher Morphismus ist affin und insbesondere separiert.


Die Gruppe der Decktransformationen wird im algebraisch-geometrischen Kontext folgendermaßen definiert.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} nennt man
\mathdisp {{ \left\{ \psi:Y \rightarrow Y \mid \varphi \text{ ist ein } X\text{-Automorphismus} \right\} }} { }
die \definitionswort {Automorphismengruppe}{.} Sie wird mit
\mathl{\operatorname{Aut}_X \, Y}{} bezeichnet.

}

Die Automorphismengruppe \zusatzklammer {oder Galoisgruppe} {} {} sollte man sich im Kontext von Fundamentalgruppen als Gruppe von Decktransformationen vorstellen.

Besonders wichtig sind die galoisschen Morphismen, das sind die \'{e}talen Morphismen mit \anfuehrung{großer}{} Automorphismengruppe und entsprechen den normalen Überlagerungen. Die folgende Definition lehnt sich an der der Normalität an.




\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} ein endlicher \'{e}taler Morphismus zwischen zwei zusammenhängenden Schemata. Man nennt $\varphi$ \definitionswort {galoissch}{,} wenn es zu jedem Morphismus \maabbdisp {\psi} {x = \operatorname{Spec} { \left( K \right) } } {X } {} \zusatzklammer {$K$ ein separabel abgeschlossener Körper} {} {} und zwei Liftungen \maabbdisp {\psi_1,\psi_2} {x} {Y } {} einen $X$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbdisp {\theta} {Y} {Y } {} gibt mit
\mathl{\theta \circ \psi_1 = \psi_2}{.}

}

Zu einem endlichen \'{e}talen Morphismus \maabbdisp {\varphi} {Y} {X } {} kann man i.A. einen Morphismus \maabbdisp {} {\tilde{Y}} {Y } {} finden derart, dass \maabbdisp {} {\tilde{Y}} {X } {} galoissch ist. Für die Konstruktion der \'{e}talen Fundamentalgruppe kann man sich im Wesentlichen auf galoissche Überlagerungen beschränken.






\zwischenueberschrift{Definition der \'{e}talen Fundamentalgruppe}

Die Kategorie der endlichen \'{e}talen Morphismen \maabbdisp {} {Y} {X } {} wird mit
\mathl{FEt/X}{} bezeichnet. Für eine Varietät über ${\mathbb C}$ entspricht das der Kategorie aller Überlagerungen mit endlichen Fasern.

Es ist das Ziel, über die Kategorie aller \'{e}talen Morphismen bzw. aller dabei auftretenden Automorphismen einen sinnvollen Limes zu bilden. Dazu braucht man eine durch eine Menge indizierte hinreichend feine und reichhaltige Auswahl all dieser Morphismen. Dazu muss man die Morphismen in eine gewisse Ordnung bringen, was man durch ein zusätzliches Datum, eine Punktierung, erreicht.

Es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und $\bar{x}$ ein geometrischer Punkt von $X$, also ein Punkt
\mathl{x \in X}{} zusammen mit einem Körperhomomorphismus \maabb {} {\kappa(x)} {{\kappa(x)}^{\rm sep} } {} in einen separablen Abschluss
\mathl{{\kappa(x)}^{\rm sep}}{} des Restekörpers $\kappa(x)$. Dies ist das Gleiche wie ein Schemamorphismus \maabbdisp {} {\bar{x} = \operatorname{Spec} { \left( {\kappa(x)}^{\rm sep} \right) } } {X } {} und bedeutet die Fixierung eines Basispunktes. Die Faser über $x$ zu einem endlichen \'{e}talen Morphismus \maabb {} {Y} {X } {} ist endlich. Die Basispunktfixierung kann auf verschiedene Arten zu einer Fixierung in $Y$ geliftet werden. Eine solche Liftung ist einfach ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\bar{x} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & Y & \\ & \searrow & \downarrow \varphi \!\!\! \!\! & \\ & & X & \!\!\!\!\! \!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Wir setzen
\mathdisp {F(Y)= \operatorname{Mor}_X \, (\bar{x},Y)} { . }
Ein Element
\mathl{f \in F(Y)}{} ist also eine Liftung des geometrischen Basispunktes $\bar{x}$, und
\mathl{F(Y)}{} ist die geometrische Faser über $\bar{x}$.

Wir betrachten die Zuordnung
\mathl{Y \mapsto F(Y)}{} als einen Funktor \zusatzklammer {man spricht von dem \stichwort {Faserfunktor} {}} {} {} von der Kategorie der \'{e}talen Überdeckungen in die Kategorie der Mengen. Dieser Funktor ist strikt prorepräsentierbar, d.h. es gibt eine \definitionsverweis {geordnete Menge}{}{}
\mathl{(I, \geq)}{} und eine durch $I$ induzierte Familie
\mathl{(Y_i,f_i)}{,} wobei $Y_i \in FEt/X$ und
\mathl{f_i \in F(Y_i)}{} ist, so dass diese Familie die folgenden Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungdrei{Zu
\mathl{i \geq j}{} gibt es einen surjektiven $X$-Morphismen \maabbdisp {\varphi_{ij}} {Y_i} {Y_j } {} }{Es ist
\mathl{\varphi_i = \varphi_j \circ \varphi_{ij}}{} und
\mathl{f_j = \varphi_{ij} \circ f_i}{.} }{Zu jedem
\mathl{Y \in FEt/X}{} ist die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {\operatorname{colim}\, \operatorname{Mor} \, (Y_i,Y) } {F(Y) } { \psi } { \psi \circ f_i } {,} eine Bijektion. }

Die letzte Bedingung bedeutet dabei insbesondere, dass es zu jedem gegebenen
\mathl{Y \in FEt/X}{} und
\mathl{h \in F(Y)}{} ein
\mathl{Y_i}{} und einen $X$-Morphismus \maabbdisp {\psi_i} {Y_i} {Y } {,} der $f_i$ auf $h$ abbildet.

Die Automorphismengruppe
\mathl{\operatorname{Aut}_X \, Y}{} operiert auf
\mathl{F(Y)}{} durch \maabbeledisp {} { \operatorname{Aut}_X \, Y \times F(Y) } {F(Y) } { ( \psi , h)} { \psi \circ h } {.} Diese Operation induziert für jedes
\mathl{h \in F(Y)}{} bei zusammenhängendem $Y$ eine injektive Abbildung \maabbeledisp {} {\operatorname{Aut}_X \, Y } {F(Y) } { \psi} { \psi \circ h } {,} da ein Automorphismus \maabb {\psi} {Y} {Y } {} mit
\mathl{\psi \circ h = \operatorname{Id}_{ Y } \circ h = h}{} nach Satz 2.4 die Identität sein muss. Insbesondere haben wir also für die Familie
\mathl{(Y_i,f_i)}{} injektive Abbildungen \maabbeledisp {} { \operatorname{Aut}_X \, Y_i } {F(Y_i) } {\psi} { \psi \circ f_i } {.} Nach obiger Definition ist $Y$ galoissch über $X$, wenn diese Abbildung auch \zusatzklammer {für jedes $f_i$} {} {} surjektiv ist. Für ein \maabb {} {Y} {X } {} gibt es einen Morphismus \maabb {} {Y'} {Y } {} derart, dass $Y'$ galoissch über $X$ ist. Daher kann man die gegebene Familie durch eine Familie ersetzen, bei der zusätzlich jedes $Y_i$ galoissch ist \zusatzklammer {und auch zusammenhängend} {} {.} Das werden wir im folgenden tun und setzen
\mathdisp {G_i= \operatorname{Aut}_X \, Y_i} { }
und nennen diese Automorphismengruppen auch Galoisgruppen. Zu einem surjektiven Morphismus \maabbdisp {\psi} {Y'} {Y } {} zwischen galoisschen Überdeckungen gibt es ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \operatorname{Aut}_X \, Y' & \stackrel{ \cong }{\longrightarrow} & F(Y') & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Aut}_X \, Y & \stackrel{ \cong }{\longrightarrow} & F(Y) & \!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Dabei geht
\mathl{f \in F(Y')}{} auf
\mathl{\psi \circ f \in F(Y)}{} und dies legt den surjektiven Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} {\operatorname{Aut}_X \, Y' } {\operatorname{Aut}_X \, Y } {} fest. Insgesamt erhalten wir über diese Konstruktion einen Funktor \maabbeledisp {} {I} { {\mathcal Gruppe} } {i} {G_i } {,} wobei zu
\mathl{i \geq j}{} der soeben definierte Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\vartheta_{i j}} {G_i} {G_j } {} gehört. Die surjektiven Gruppenhomomorphismen haben also die gleiche Richtung wie die Morphismen. Statt dem Kolimes betrachtet man aber jetzt den projektiven Limes über dieses System. Man setzt
\mathdisp {\pi_1^{\rm \acute{e}t}( X, \bar{x} ) = {\lim_{\longleftarrow} }_{ i \in I } \, G_i} { }
und nennt dies die \stichwort { \'{e}tale Fundamentalgruppe} {} von $X$ im Punkt $\bar{x}$. Sie ist also eine Komplettierung von endlichen Gruppen, ihre Elemente bestehen aus Folgen
\mathbed {g_i \in G} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} die die Bedingung
\mathl{\varphi_{ij}(g_i) =g_j}{} erfüllen. Zu jedem $i$ gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {} { \pi_1^{\rm \acute{e}t}( X, \bar{x} ) } {G_i } {.}

Für einen anderen Basispunkt ergibt sich eine isomorphe Gruppe \zusatzklammer {es gibt aber keinen kanonischen Isomorphismus} {} {}, wobei die Basispunkte noch nicht einmal abgeschlossen sein müssen.






\inputbemerkung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und \maabbdisp {} {K} { K^{\rm sep} } {} eine Einbettung in einen separablen Abschluss. Die

\'{e}talen Morphismen entsprechen den separablen $K$-Algebren $A$, das sind endlichdimensionale $K$-Algebren, die das direkte Produkt von Körpern
\mathl{A=K_1 \times \cdots \times K_m}{} sind, die alle \definitionsverweis {separable Körpererweiterungen}{}{} von $K$ sind. Insbesondere treten hierbei die endlichen separablen Körpererweiterungen
\mathl{K \subseteq L}{} auf. Eine Punktierung von
\mathl{\operatorname{Spec} { \left( A \right) }}{} durch
\mathl{\operatorname{Spec} { \left( K^{\rm sep} \right) }}{} ist ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {A} {K^{\rm sep} } {,} der durch einen der Körper $K_j$ faktorisiert. Wenn $A$ galoissch ist, so sind alle $K_j$ untereinander isomorph und selbst eine \definitionsverweis {endliche galoissche Körpererweiterung}{}{} von $K$. Wenn $\operatorname{Spec} { \left( A \right) }$ nicht zusammenhängend ist, so kann die Automorphismengruppe größer als die Faser sein. Man denke an die $n$-fache \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{} des Grundpunktes mit sich selbst. Die Automorphismengruppe besitzt dann $n!$ Elemente. Da man sich bei der Konstruktion der \'{e}talen Fundamentalgruppe auf zusammenhängende Erweiterungen beschränken kann, können wir uns auf eine Familie von galoisschen Körpererweiterungen beschränken. Dabei kann man überhaupt alle über $K$ endlichen und galoisschen Zwischenkörper
\mathbed {L} {}
{K \subseteq L \subseteq K^{\rm sep}} {}
{} {} {} {,} als Indexmenge nehmen. Somit ist
\mathl{\pi_1^{\rm \acute{e}t}( \operatorname{Spec} { \left( K \right) } , \bar{x} )=\operatorname{ Gal}_{ } ^{ } { \left( K^{\rm sep} {{|}} K \right) }}{} die \stichwort {absolute Galoisgruppe} {} von $K$.

}






\inputbemerkung
{}
{

Zu einem integren normalen Schema $X$ ist es relativ einfach, eine geordnete Menge anzugeben, die sämtliche Galoisüberdeckungen von $X$ erfasst \zusatzklammer {im Sinne der Prorepräsentierung} {} {.} Man betrachtet den Funktionenkörper
\mathl{K=K(X)}{} und startet wie in Bemerkung 2.7 mit der Menge aller \definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Galoiserweiterungen}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} mit
\mathl{L \subseteq K^{\rm sep}}{,} wobei $K^{\rm sep}$ ein \definitionsverweis {separabler Abschluss}{}{} von $K$ ist. Man beschränkt sich dann auf diejenigen Erweiterungen
\mathl{K \subseteq L}{,} für die der integrale Abschluss von $X$ in $L$ selbst \'{e}tale \zusatzklammer {und dann automatisch galoissch} {} {} ist \zusatzklammer {diese Auswahl konstituiert also die Indexmenge, wobei die natürliche Inklusion die Ordnung festlegt} {} {.} Die Abbildung
\mathdisp {\operatorname{Spec} { \left( K^{\rm sep} \right) } \longrightarrow \operatorname{Spec} { \left( L \right) } \longrightarrow Y} { }
definiert dabei die Punktierung von $Y$ über der Basispunktierung
\mathl{\operatorname{Spec} { \left( K^{\rm sep} \right) } \rightarrow \operatorname{Spec} { \left( K \right) } \rightarrow X}{,} d.h. man nimmt den generischen Punkt des Schemas als Basispunkt.

}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{X ={\mathbb A}^\times = {\mathbb A} \setminus \{0\}}{} die punktierte Gerade, wobei wir den Punkt
\mathl{1 \in X}{} fixieren. Die zusammenhängenden galoisschen Überdeckungen sind \maabbeledisp {} {X_n = X} {X } {t} {t^n } {,} mit der Galoisgruppe
\mathl{G_n = \mu_n (K) \cong \Z/(n)}{,} wobei $n$ kein Vielfaches der Charakteristik ist. Als Indexmenge $I$ kann man die natürlichen Zahlen ohne die Vielfachen der Charakteristik zusammen mit der durch die Teilbarkeit gegebenen Ordnung nehmen. Für
\mathl{n {{|}} m}{} gibt es natürliche Morphismen \maabbeledisp {} {X_m} {X_n } {t} {t^{m/n} } {,} wobei \maabbdisp {} {G_m} {G_n } {} surjektiv ist \zusatzklammer {ein Erzeuger wird also auf einen Erzeuger abgebildet, bzw. eine primitive Einheitswurzel wird auf eine primitive Einheitswurzel abgebildet} {} {.} Die

\'{e}tale Fundamentalgruppe

ist also
\mathdisp {{\lim_{\longleftarrow} }_{ n \in \N,\, p \! \not \, \, {{|}} \, n } \, \Z/(n) = \prod_{ \ell \, {\rm prim} \neq p } \hat{\Z} _\ell} { . }


}

Die beiden folgenden Sätze zeigen, dass die \'{e}tale Fundamentalgruppe wichtige erwünschte Eigenschaften erfüllt.


\inputfakt{Zusammenhängendes Schema/Geometrischer Punkt/Faserfunktor/Etale Erweiterungen und stetige pi-Mengen/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei $X$ ein zusammenhängendes Schema und $\bar{x}$ ein geometrischer Punkt von $X$ mit der \'{e}talen Fundamentalgruppe
\mathl{\pi= \pi_1^{\rm \acute{e}t}( X, \bar{x} )}{.}}
\faktfolgerung {Dann induziert der Faserfunktor \maabbeledisp {} {FEt/X } { \pi-\text{Mengen} } {Y} {F(Y) } {,} eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der endlichen \'{e}talen Schemata über $X$ und der Kategorie der endlichen Mengen, auf denen eine stetige Operation von $\pi$ gegeben ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

} Die Stetigkeit bedeutet dabei, dass die Operation über eine endliche Restklassengruppe faktorisiert.

Aus dem Riemannschen Existenzsatz folgt für
\mathl{K={\mathbb C}}{} der folgende wichtige Vergleichssatz zwischen \'{e}taler und topologischer Fundamentalgruppe.


\inputfakt{Etale Fundamentalgruppe/C/Komplettierung/Vergleich/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei $X$ eine glatte Varietät über ${\mathbb C}$,
\mathl{x \in X}{} ein abgeschlossener Punkt und $X_{\mathbb C}$ die zugehörige komplexe Mannigfaltigkeit.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen der \'{e}talen Fundamentalgruppe und der topologischen Fundamentalgruppe die Beziehung
\mathdisp {\pi_1^{\rm \acute{e}t}( X, x) = { (\pi_1(X_{\mathbb C},x) ) }^{\widehat{} }} { , }
d.h. die \'{e}tale Fundamentalgruppe ist die proendliche Komplettierung der topologischen Fundamentalgruppe.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}

Insbesondere definiert ein geschlossener Weg \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X } {} ein Element in der \'{e}talen Fundamentalgruppe, das man direkt angeben kann. Zu
\mathl{i \in I}{} und der zugehörigen galoisschen Überdeckung \maabbdisp {\varphi_i} {Y_i} {X } {} besitzt die Liftung $\tilde{\gamma}$ mit dem Startpunkt $f_i$ einen eindeutig bestimmten Endpunkt
\mathl{\tilde{\gamma}(1) \in F(Y)}{,} dem ein eindeutiger Automorphismus
\mathl{g_i \in G_i}{} entspricht. Die Familie
\mathbed {g_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist verträglich und definiert das zugehörige Element in der \'{e}talen Fundamentalgruppe.

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