Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 17

Abbildungen von Überlagerungen

Definition

Es seien $p:E\to X$ und $q:F\to X$ Überlagerungen von $X$. Eine Abbildung von Überlagerungen von $p$ nach $q$ ist eine stetige Abbildung $f:E\to F$ mit der Eigenschaft, dass  $q\circ f=p$  gilt. Ist $f$ zudem eine Homöomorphie, so ist $f$ ein Isomorphismus von Überlagerungen. Die Menge der Abbildungen von Überlagerungen von $p$ nach $q$ wird mit ${\mathrm{Hom}}_X(E,F)$ bezeichnet. Die Menge der Isomorphismen von Überlagerungen von $p$ nach $p$ heißt ${\mathrm{Aut}}_X(E)$. Diese Menge ist eine Gruppe unter der Komposition, die sogenannte Decktransformationengruppe von $p:E\to X$.

Sei $X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, $x_0\in X$ und $G:={\pi }_1(X,x_0)$ die Fundamentalgruppe von $X$. Ist $p:E\to X$ eine Überlagerung, so operiert die Gruppe $G$ auf der Faser $p^{-1}(x_0)$ in folgender Weise. Sei $y\in p^{-1}(x_0)$ und $[u]\in {\pi }_1(X,x_0)$. Nach dem Homotopie-Liftungssatz gibt es einen Weg $w:I\to E$ von $y$ zu $z$ mit $p\circ w=u\in [u]$, dessen Endpunkt $z$ nicht von der Wahl $u\in [u]$ abhängt. Setze $y\cdot [u]:=z$. Dies liefert eine Abbildung

$p^{-1}(x_0)\times {\pi }_1(X,x_0)\to p^{-1}(x_0)(y,[u])\mapsto y\cdot [u].$

Satz

Es sei $X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, $x_0\in X$ und $G:={\pi }_1(X,x_0)$ die Fundamentalgruppe von $X$. Es sei weiter $p:E\to X$ eine Überlagerung. Es gilt:

1. Die Abbildung $p^{-1}(x_0)\times G\to p^{-1}(x_0)$ ist eine rechte $G$-Operation.
2. Die Menge der Bahnen $p^{-1}(x_0)/G$ ist isomorph zu ${\pi }_{0}E$.
3. Für jedes $y\in p^{-1}(x_0)$ stimmt die Standgruppe $G_y:=\{[u]\in G:y\cdot [u]=y\}$ überein mit dem Bild $p_{\ast }({\pi }_1(E,y))\subseteq {\pi }_1(X,x_0)$.
4. Ist $f:E_1\to E_2$ eine Abbildung von Überlagerungen von $X$, so ist die Einschränkung

   $f{|}_{p_1^{-1}(x_0)}:p_1^{-1}(x_0)\to p_2^{-1}(x_0)$

   eine Abbildung von rechten $G$-Mengen.

Beweis

1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen $(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u◻v]$ und $y\cdot [x_0]=y$ für alle $y\in p^{-1}(x_0)$ und $[u],[v]\in {\pi }_1(X,x_0)$ gelten. Es sei $u^{\prime }:I\to E$ der Lift von $u:I\to X$ zum Anfangspunkt $y$ und $v^{\prime }:I\to E$ der Lift von $v:I\to X$ zum Anfangspunkt $u^{\prime }(1)$. Dann ist $u^{\prime }◻v^{\prime }:I\to E$ der Lift von $u◻v:I\to X$ zum Anfangspunkt $y$. Die Gleichung

   $u^{\prime }◻v^{\prime }(1)=v^{\prime }(1)$

   liefert dann die Identität $(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u◻v]$. Der Lift der konstanten Schleife $x_0:I\to X$ zum Anfangspunkt $y$ ist die konstante Schleife $y:I\to E$, was die Identität $y\cdot [x_0]=y$ liefert.
2. Sind zwei Punkte $y,z\in p^{-1}(x_0)$ in derselben Bahn, also $y\cdot [u]=z$ für ein $[u]\in {\pi }_0(X,x_0)$, so gibt es insbesondere einen Weg in $E$ von $y$ nach $z$. Die Komposition der Inklusion $i:p^{-1}(x_0)\hookrightarrow E$ und der kanonische Projektion $q:E\to {\pi }_0(E)$ induziert also eine Abbildung

   $\varphi :p^{-1}(x_0)/G\to {\pi }_0(E).$

   Die Abbildung $\varphi$ ist injektiv. Denn wenn $y,z\in p^{-1}(x_0)$ und $w$ ein Weg in $E$ von $y$ nach $z$ ist, so ist $p\circ w:I\to X$ eine Schleife an $x_0$ mit der Eigenschaft, dass $y\cdot [p\circ w]=z$. Die Abbildung $\varphi$ ist surjektiv. Denn wenn $z\in E$ beliebig ist, so gibt es in $X$ einen Weg von $p(z)$ nach $x_0$ -- schließlich ist $X$ weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt $z$ ist ein Weg zu einem Element in $p^{-1}(x_0)$.

3. Es sei nun $y\in p^{-1}(x_0)$ und $[u]\in {\pi }_1(X,x_0)$ derart, dass $y\cdot [u]=y$. Dann ist aber der Lift $u^{\prime }:I\to E$ von $u$ zum Anfangspunkt $y$ eine Schleife an $y$ mit der Eigenschaft, dass

   $p_{\ast }([u^{\prime }])=[p\circ u^{\prime }]=[u]$

   Es folgt, dass $G_y\subseteq p_{\ast }({\pi }_1(E,y))$. Ist hingegen $v:I\to E$ eine Schleife an $y$, so ist $y\cdot [p\circ v]=v(1)=y$, was die Inklusion $G_y\supseteq p_{\ast }({\pi }_1(E,y))$ zeigt.

4. Es sei $f:E_1\to E_2$ eine Abbildung von Überlagerungen. Ist $y\in p_1^{-1}(x_0)$, so gilt ja wegen $p_2\circ f=p_1$ auch $f(y)\in p_2^{-1}(x_0)$. Demnach schränkt $f$ auf eine Abbildung

   $f:p_1^{-1}(x_0)\to p_2^{-1}(x_0)$

   ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist, sei $[u]\in G={\pi }_1(X,x_0)$. Ist $u^{\prime }:I\to E_1$ der Lift von $u$ zum Anfangspunkt $y\in E_1$, so ist $f\circ u^{\prime }$ der Lift von $u$ zum Anfangspunkt $f(y)\in E_1$. Denn $p_2\circ (f\circ u^{\prime })=p_1\circ u^{\prime }=u$. Somit ist

   $f(y)\cdot [u]=(f\circ u^{\prime })(1)=f(u^{\prime }(1))=f(y\cdot [u]),$

   was zeigt, dass $f$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist.

$◻$

Satz

Es sei $X$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum,  $x_0\in X$  und $p:E\to X$, $q:F\to X$ Überlagerungen von $X$.

Dann ist die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_X(E,F)⟶{\mathrm{Hom}}_G((p^{-1}(x_0),q^{-1}(x_0)),f⟼f{|}_{p^{-1}(x_0)},$

bijektiv.

Beweis

Es sei $\varphi :p^{-1}(x_0)\to q^{-1}(x_0)$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen. Um diese zu einer Abbildung $f:E\to F$ von Überlagerungen von $X$ zu erweitern, sei $E^{\prime }$ eine Wegzusammenhangskomponente von $E$. Da $X$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch $E$ nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum $E$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist $p^{\prime }:E^{\prime }\hookrightarrow E\stackrel{p}{\to }X$ wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung $f:E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen anzugeben, die auf $p^{-1}(x_0)\cap E^{\prime }$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Es sei $y_0\in p^{-1}(x_0)\cap E^{\prime }$ und $e_0=\varphi (y_0)\in q^{-1}(x_0)\subseteq F$. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung $f:E^{\prime }\to F$ mit $q\circ f=p{|}_{E^{\prime }}$ genau dann, wenn $p_{\ast }{\pi }_1(E^{\prime },y_0)\subseteq q_{\ast }{\pi }_1(F,e_0)$ gilt. Nach obigem Satz ist $p_{\ast }{\pi }_1(E^{\prime },y_0)=G_{y_0}$. Weil $\varphi$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist, gilt $G_{y_0}\subseteq G_{e_0}$. Wieder nach obigem Satz ist $G_{e_0}=q_{\ast }{\pi }_1(F,e_0)$. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung $f:E^{\prime }\to F$ mit $q\circ f=p{|}_{E^{\prime }}$, die auf $y_0$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Nun ist jedes Element in $p^{-1}(x_0)\cap E^{\prime }$ nach obigem Satz von der Form $y_0\cdot [u]$ für ein $[u]\in {\pi }_1(X,x_0)=G$. Dies impliziert, dass $f$ auf ganz $p^{-1}(x_0)\cap E^{\prime }$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_X(E,F)\to {\mathrm{Hom}}_G(p^{-1}(x_0),q^{-1}(x_0))$

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung $f:E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen von $X$ schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.

$◻$

Satz

Es sei $X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum.

Die Gruppe der Decktransformationen einer universellen Überlagerung von $X$ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von $X$.

Beweis

Es sei $q:\tilde{X}\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei $X$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Es sei weiter $x_0\in X$ und $G={\pi }_1(X,x_0)$. Nach obigem Satz

ist die Decktransformationengruppe von $q:\tilde{X}\to X$ isomorph zur Automorphismengruppe der $G$-Menge $q^{-1}(x_0)$. Es reicht also zu zeigen, dass die letztere Gruppe, die mal mit ${\mathrm{Aut}}_G(q^{-1}(x_0))$ bezeichnet werde, isomorph zu $G$ ist. Um einen Isomorphismus anzugeben, wähle $y\in q^{-1}(x_0)$. Es sei weiter $\bar{G}$ die rechte $G$-Menge mit unterliegender Menge $G$ und Operation

$\bar{G}\times G=G\times G\stackrel{\mu }{\to }G=\bar{G},$

wobei $\mu$ die Multiplikation auf $G$ ist. Die Abbildung

${\psi }_y:\bar{G}\to q^{-1}(x_0)g\mapsto y\cdot g$

ist eine Abbildung von $G$-Mengen, denn

${\psi }_y(g\cdot h)=y\cdot (g\cdot h)=(y\cdot g)\cdot h={\psi }_y(g)\cdot h.$

Des weiteren ist ${\psi }_y$ bijektiv: injektiv, weil die Standgruppe $G_y=q_{\ast }({\pi }_1(\tilde{X},y))$ nach obigem Satz

trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz

${\pi }_0(\tilde{X})\cong q^{-1}(x_0)/G$ trivial ist. Es folgt, dass

${\mathrm{Aut}}_G(q^{-1}(x_0))\cong {\mathrm{Aut}}_G(\bar{G})$

Es sei nun

$\varphi :G\to {\mathrm{Aut}}_G(\bar{G})g\mapsto (h\mapsto g\cdot h),$

dann ist $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus, weil die Multiplikation in der Gruppe assoziativ ist. Des weiteren ist $\varphi$ injektiv, denn die Abbildung $h\mapsto g\cdot h$ ist die Identität genau dann, wenn $g=1_G$ gilt. Es sei $\xi$ ein $G$-Automorphismus von $\bar{G}$. Dann ist

$\xi (h)=\xi (1\cdot h)=\xi (1)\cdot h\mathrm{\forall }h\in \bar{G},$

was die Surjektivität liefert.

$◻$

Einen anderen Beweis des Satzes erhält man durch die Inspektion der Konstruktion einer universellen Überlagerung. Ist $x_0\in X$ der Basispunkt eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes, so ist die unterliegende Menge von $\tilde{X}$ gegeben durch die relativen Homotopieklassen $[v]$ von Wegen in $X$, die bei $x_0$ beginnen. Offensichtlich ist die Faser der Überlagerung $\tilde{X}\to X$ bei $x_0$ identisch mit der unterliegenden Menge der Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X,x_0)$. Man beachte, dass diese Faser die Homotopieklasse des konstanten Weges als ausgezeichneten Punkt besitzt.

Den Satz kann man dazu benutzen, Fundamentalgruppen topologischer Räume zu bestimmen.

Beispiel

Es sei $p:S^n\to {ℝ\mathbb{P}}^n$ die kanonische Überlagerung und $n\ge 2$. Dann ist $S^n$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da ${ℝ\mathbb{P}}^n$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von $p:S^n\to {ℝ\mathbb{P}}^n$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${ℝ\mathbb{P}}^n$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung $x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von ${ℝ\mathbb{P}}^n$ die Gruppe mit zwei Elementen.

Sei nun $H\subseteq {\pi }_1(X,x_0)$ eine Untergruppe der Fundamentalgruppe eines zusammenhängenden und semi-lokal einfach-zusammenhängenden topologischen Raumes. Diese Gruppe operiert vermöge der obigen Isomorphie auf dem Totalraum einer universellen Überlagerung $q:\tilde{X}\to X$. Sei $\tilde{X}/H$ der Raum der $H$-Bahnen, versehen mit der Quotientenraumtopologie. Seien weiter $r:\tilde{X}\to \tilde{X}/H$ die kanonische und $p:\tilde{X}/H\to X$ die durch $q:\tilde{X}\to X$ induzierte Abbildung. Dann gilt folgender Sachverhalt.

Satz

Es sei $X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, $x_0\in X$ und $H\subseteq {\pi }_1(X,x_0)$ eine Untergruppe. Die Abbildung $p:\tilde{X}/H\to X$ ist eine Überlagerung, und es gilt $p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X}/H,y_0)=H$ für jedes $y_0\in p^{-1}(x_0)$.

Beweis

Es sei $U\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Spezialüberdeckung. Dann gibt es eine topologische Äquivalenz $q:q^{-1}(U)\cong U\times {\pi }_1(X,x_0)$. Die Gruppe ${\pi }_1(X,x_0)$ operiert auf $q^{-1}(U)$ durch Decktransformationen und auf $U\times {\pi }_1(X,x_0)$ durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor. Die topologische Äquivalenz $\varphi$ ist kompatibel mit diesen Operationen, also eine topologische Äquivalenz von ${\pi }_1(X,x_0)$-Räumen. Es folgt, dass

$p^{-1}(U)=r(q^{-1}(U))\cong U\times {\pi }_1(X,x_0)/H,$

was im Wesentlichen zeigt, dass $p$ eine Überlagerung von $X$ ist. Die zweite Aussage folgt aus obigem Satz.

$◻$

Zusammenfassend gilt also folgendes: Ist $X$ ein zusammenhängender und semi-lokal einfach-zusammenhängender topologischer Raum, so gibt es zu jeder Untergruppe $H\subseteq {\pi }_1(X,x_0)$ eine zusammenhängende Überlagerung $p:E\to X$ mit $p_{\ast }{\pi }_1(E)=H$.